Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

CHỦ ĐỀ 1 : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ
LÍ THUYẾT
➢ Trong không gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O , và trục Oz vuông
góc với mặt phẳng Oxy tại O . Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox , Oy , Oz lần lượt là i = (1;0;0 ) ,
j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1) .

▪

Nếu a = a1 i + a2 j + a3 k thì a = ( a1 ; a2 ; a3 ) .

▪

M ( xM ; yM ; zM )  OM = xM i + yM j + zM k

▪

Cho A ( x A ; y A ; z A ) và B ( xB ; yB ; z B )

▪

Ta có: AB = ( xB − xA ; yB − y A ; zB − z A ) và AB = ( xB − xA ) 2 + ( yB − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2 .

▪

 x + xB y A + y B z A + z B
M là trung điểm AB thì M  A
;
;
2
2
 2

▪

a1 = b1

a = b  a2 = b2
a = b
 3 3

▪

a.b = a . b cos(a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3

▪

cos = cos(a, b) =

▪

a và b vuông góc  a.b = 0  a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0

▪

a1 = kb1

a và b cùng phương  k  R : a = kb  a2 = kb2
a = kb
3
 3


.

➢ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) ta có

a  b =

Chủ đề hệ trục tọa độ Oxyz ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

CHỦ ĐỀ 2 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
LÍ THUYẾT
❖ Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2  0 đuợc gọi là
phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng (P) : ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2  0 . Có vecto pháp

▪

tuyến là n = ( A; B; C )
Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M o ( xo ; yo ; zo ) và nhận vectơ n = ( A; B; C ) , n  0 làm vectơ pháp

▪

tuyến có dạng

( P ) : A ( x − xo ) + B ( y − yo ) + C ( z − z0 ) = 0

Nếu ( P ) có cặp vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ) không cùng phương ,có giá song song

▪

hoặc nằm trên ( P ) thì vectơ pháp tuyến của ( P ) được xác định n =  a, b 
❖ Các trường hợp riêng của mặt phẳng :
Trong không gian Oxyz cho mp(  ) : Ax + By + Cz + D = 0 , với A2 + B 2 + C 2  0 . Khi đó:
▪

D = 0 khi và chỉ khi (  ) đi qua gốc tọa độ.

▪

A = 0, B  0, C  0, D  0 khi và chỉ khi ( ) song song với trục Ox

▪

A = 0, B = 0, C  0, D  0 khi và chỉ khi ( )

Chủ đề phương trình mặt phẳng ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

CHỦ ĐỀ 3 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
LÍ THUYẾT
❖ Phương trình ttham số của đường thẳng  đi qua điểm M o ( xo ; yo ; zo ) và có vectơ chỉ phương

 x = x0 + a1t

a = (a1 ; a2 ; a3 ) , a  0 có dạng là :  y = y0 + a2t (t  R) .
z = z + a t
0
3

❖ Nếu a1 , a2 , a3 đều khác không .Phương trình đường thẳng  viết dưới dạng chính tắc như sau:

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3
❖ Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
▪ Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

 x = xo + a1t

d :  y = yo + a2t
z = z + a t
0
3

▪

(d )

 x = xo' + a1' t '

d ' :  y = yo' + a2' t ' có VTCP u đi qua M o và d ' có vtcp u ' đi qua M o'

'
'
 z = zo + a3t '

[u , u ']=0

( d )   M
'



o

(d )  (d ' ) 

d '

[u , u ']=0

 M 0  d '

 u , u '   0


▪ ( d ) cắt ( d )  
( d ) chéo ( d ' )  u, u ' .M 0 M 0'  0
'
 u , u ' .M o M 0 = 0
❖ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
▪ Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M ( xo ; yo ; zo ) và có vectơ chỉ phương
'

Chủ đề phương trình đường thẳng ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

CH       16: VI     ng 1. Vi  ng th  ng khi bi  t v ectơ   ch    phương   ng th  m M(x ; y ; z ) 0   0   0   v    phương   u   (a; b;c) =     có:  -   Phương trình tham số: x   x   at y   y   bt z   z   ct  =   +     =   +     =   +   0 0 0  (t   )    -   Phương trình chính tắc là:   x   x   y   y   z   z  a   b   c         =   = 0   0   0   v       0  Phương pháp giải      ng th  ng   d   có véctơ chỉ   phương   d u       t      ng th  ng   d   song song đườ ng th  ng    , suy ra   d u   u  =         .      ng th  ng   d   vuông góc với mặ t ph    d   P u   n =          .  Ví d    1:   Trong không gian t  a đ    Oxyz, phương trình đư   ng qua đi    A( ;   ; )  1   2 3   và trung đi  m c  a BC v    B( ; ;   )  2 1   3   và   C( ; ; ) 2 3 5   là  A.   x   y   z    +    =   =   1   2   3 1   2   3   .   B.   x   y   z    +    =   =  1   2   3 2   1   2   .  C.   x   y   z        =   =     2   2   1 1   4   2   .   D.   x   y   z    +    =   =     1   2   3 1   2   2   .  L   Trung điểm của BC là   x   y   z  M( ; ; )   u   AM   ( ; ;   )   d :             =   =         =   =     2   2   1 2 2 1   1 4   2   1   4   2         .   Ch  n C. Ví d    Trong không gia n t  a đ    Oxyz,   cho ba đi  m   A( ;   ; ); B(   ; ; );C( ; ;   )        0   1 2   2 3 5   4 0   7   . Đi  m M thu  c c  nh  BC sao cho   ABM   ACM S   S =   2   . Phương trình đườ ng th   A.   x   y   z +    =   =   1   2 1   3   3   .   B.   x   y   z +    =   =  1   2 2   1   2   .  C.   x   y   z       + =   =     2   1   3 2   2   5   .   D.   x   y   z +    =   =  1   2 2   2   5   .  L   Ta có   ABM   ACM S   S =   2   và   M   thuộc cạ nh BC nên   BM   MC =   2        M   M   M   M   M   M (x   ; y   ; z   )   (   x   ;   y   ;   z   )   M( ; ;   )   AM   ( ; ;   )    +         =                     =    2   3   5   2 4   7   2 1   3   2 2   5     Phương trình dườ ng th  ng   AM   là:   x   y   z       + =   =     2   1   3 2   2   5   .   Ch  n C. D  ng 2. Vi  ng th  ng khi bi  t c  p v ectơ   pháp tuy  nN  ng th  ng   d   có cặp vectơ pháp tuyến là   a     và   b     t    d d  u   a u   b                          thì   d u   a; b     =             .  M  t s    các trườ ng h  ng g  p:      ng th  ng   d   vuông góc hai đườ ng th  ng    1   và    2 , suy ra   d u   u   ; u         =     1   2           .      ng th  ng   d   song song với mặ t ph  ng   (P)   và   (Q),   suy ra   d   P   Q u   n ; n     =              .      ng th  ng   d   song song với mặ t ph  ng   (P)   và vuông góc với thườ ng th  ng    , suy ra   d   P u   n ; u      =                 ng th  ng   d   n  t ph  ng   (P)   và song song với mặ t ph  ng   (Q),   suy ra   d   P   Q u   n ; n     =              .      ng th  ng   d   n  t ph  ng   (P)   và vuông góc với đườ ng th  ng    , suy ra   d   P u   n ; u      =              .  Ví   d    1:   Trong   không   gian   Oxyz ,   cho    ng   th  ng   x   1   y   1   z   3  d :   2   1   3  +       =   =   và   mặ t   ph  ng  (P):   x   y   z   1   0          =   . Viết phương trình đườ ng th  ng         A(1;1;   2)    , song song với mặ t ph  vuông góc với đườ ng th  ng   d .  L   Do   (P) (P)   d d  u   n / /(P)   u   n   ; u   (2;5;   3)  d   u   u                          =   =                                       Suy ra phương trình đườ ng th  ng      là   x   1   y   1   z   2  2   5   3        + =   =      .  Ví d    2 :   Trong không gian to        Oxyz , cho   (P) : x   y   z   1   0, (Q) : x   y   z   2   0 +   +   +   =      +      =   và đi    2;3)    .  Phương trình nào đưới đây là phương trình đườ ng th   A.  x   1   t y   2 z   3   t  = − +     =     = −     .   B.  x   1 y   2 z   3   2t  =     = −     =     .   C.  x   1   2t y   2 z   3   2t  =   +     = −     =   +  .   D.  x   1   t y   2 z   3   t  =   +     = −     =     .  L    ng th    (P)   và (Q) nên   d   (p)   (Q) u   n   ; n   2(1;0;   1)     =   =                 .  Do đó d:  x   1   t y   2 z   3   t  = − +     =     = −      .   Ch  n A. Ví d    Trong không gian v  i h    t  a đ    O xyz , vi  t phương trình     ng th  ng d đi qua     m   A ( - 1 ; 0 ; 2 )   và  song song với hai mặ t ph  ng   (P) : 2x   3y   6z   4   0    +   +   =   và   (Q) : z   y   2z   4   0 +      +   =

Bài toán viết phương trình đường thẳng

CH       17: BÀI TOÁN V    PHƯƠNG TRÌNH MẶ T C  U    ng 1: L  u  Phương pháp giải:     Phương trình   chính tắc   c  a m  u   (   ) (   )   (   )   (   )  2   2   2   2 : S   x   a   y   b   z   c   R    +      +      =     Phương trình   tổng quát   c  a m  u   (   )   2   2   2 :   2   2   2 S   x   y   z   ax   by   cz   d +   +            +   v    (   ) ; ; I   a b c   bán kính  2   2   2  R   a   b   c   d =   +   +      .  Chú ý:  - N  u   A, B   thuộ c m  u   (   ) S   IA   IB   R    =   =   . - N  u   IA   IB =   thì ta có:  2   2 2   2 2.   .   .   2  OB   OA AB OI   OB   OA   AB OI    =         =         Ch  ng minh:   Ta có:   (   )   (   )  2   2 2   2 2   2  IA   IB   IA   IB   IA   IB   IO   OA   IO   OB =      =      =      +   =   +                       (   )   2   2 2   2 2   .   .   2  OB   OA IO   OB   OA   OB   OA   AB OI          =         =                 . - V  m   A, B, C, D   ta sẽ   làm như sau:  G  i   (   ) ;   ; I   x y z   là tâm mặt cầu thì:   IA   IB   IC   ID =   =   =   khi đó   (   ) ;   ; I   x y z   là nghiệ m c  a h    phương trình:  2   2 2   2 2   2 .   2 .   2 .   2  OB   OA AB OI IA   IB   OC   OA IA   IC   AC OI IA   ID   OD   OA AD OI      =   =         =      =             =        =         CASIO suy ra tọa độ    m   I .  Trong đó   (   ) 0;0;0 O   là gốc tọa độ, giả i h    phương trình suy ra tọa độ    m   I .  Ví dụ   1:   L  a m  u   (   ) S   bi   a)   Tâm   I   thuộ c   Oy , đi qua   (   )   (   ) 1;1;3 ;   1;3;3 A   B      .  b)   Tâm   I   thuộ c   Oz , đi qua   (   )   (   ) 2;1;1 ;   4;   1;   1 A   B         .  L   a)   G  i   (   ) 0;   ;0 I   y   ta có:   (   )   (   )  2   2 2   2   1   1   9   1   3   9   2   14 IA   IB   y   y   y   R   IA =      +      +   =   +      +      =      =   =  Suy ra   (   )   (   ) 2 2   2  :   2   14 S   x   y   z +      +   =   .  b)   G  i   (   ) 0;0; I   z   ta có:   (   )   (   )  2   2 2   2   4   1   1   16   1   1 IA   IB   z   z =      +   +      =   +   +   +  (   ) 4   12   3   0;0;   3 ;   21 z   z   I   R    = −      = −         =   .Phương trình mặt cầ u   (   )   (   ) 2 2   2 :   3   21 S   x   y   z +   +   +   =  Ví dụ   2:   L  u   (   ) S   bi   a)   Tâm   I   thuộ c 1 : 2  x   t d   y   t z   t  =   +     =     =   và đi qua   (   )   (   ) 3;0;   1 ;   1; 4;1 A   B    .  b)   Tâm   I   thuộ c   2   1 :   1   1   2  x   y   z d       =   =    và đi qua   (   )   (   ) 3;6;   1 ;   5; 4;   3 A   B       .  L   a)   G  i   (   ) 1   ; ; 2 I   t t   t +   là tâm mặt cầu ta có:  (   )   (   )   (   )   (   )  2   2   2   2 2   2   2   2  2   2   1   4   2   1 IA   IB   t   t   t   t   t   t =         +   +   +   =   +      +     (   ) 12   12   1   2;1; 2   11 t   t   I   R    = −      =         =   .  Phương trình mặt cầ u là:   (   )   (   )   (   )  2   2   2 2   1   2   11 x   y   z    +      +      =   .  b)   G  i   (   ) 2   ;1   ; 2 I   t   t   t    +   là tâm mặt cầu ta có:  (   )   (   )   (   )   (   )   (   )   (   )  2   2   2   2   2   2 2   2   1   5   2   1   3   3   2   3 IA   IB   t   t   t   t   t   t =      +   +      +   +   =   +   +      +   +  (   ) 16   0   0   2;1;0   3   3 t   t   I   R    =      =         =  Phương trình mặt cầ u là:   (   )   (   )  2   2   2 2   1   27 x   y   z    +      +   =   .  Ví dụ   3:   L  u   (   ) S   bi    (   ) S  a)    m   (   )   (   )   (   )   (   ) 2; 4;   1 ;   1;   4;   1 ;   2; 4;3 ;   2; 2;   1 A   B   C   D             .  b)    m   (   )   (   )   (   )   (   ) 3;3;0 ;   3;0;3 ;   0;3;3 ;   3;3;   3 A   B   C   D      .  L      IA   IB   IC   ID =   =   =   thì   (   ) ;   ; I   x y z   là nghiệ m c  a h    phương trình:  2   2 2   2 2   2 .   2 .   2 .   2  OB   OA AB OI OC   OA AC OI OD   OA AD OI      =         =       =         .

Bài toán về phương trình mặt cầu

CH       19: BÀI TOÁN C  C TR    T    KHÔNG GIAN I. LÝ THUY  T TR  NG TÂM  II. CÁC D  NG TOÁN TR  I D  m M thu  c (P) sao cho   u   aMA   bMB   cMC =   +   +               có   u       Phương pháp giải:  +Tìm điể m I thõa mãn h    th  c   0 aIB   bIB   cIC +   +   =                t     m I là: 1 1 1  A   B   C A   B   C A   B   C ax   bx   cx x   a   b   c ay   by   cy y   a   b   c az   bz   cz z   a   b   c  +   +    =    +   +    +   +    =    +   +    +   +    =    +   +  Phân tích   (   )   (   )   (   ) u   aMA   bMB   cMC   a   b   c MI   aIA   bIB   cIC   a   b   c MI =   +   +   =   +   +   +   +   +   =   +   +                                 Khi đó   min  u   a   b   c MI   u =   +   +              M là hình chiếu vuông góc củ a I lên (P).  Viết phương trình đườ ng th    (P)   (   ) IM   P  u   n    =        Khi đó   (   )   (   ) M   P   IM =      .  Ví d    1:   Cho các đi    (   )   (   ) 2;1;   1 ;   0;3;1 A   B    và (P) : x   y   z   3   0 +      +   =   . Tìm đi   a)   min  MA   MB +        . b)   min  2 MA   MB         .  L  i gi  i  a)   G    (   ) 1; 2;0 I   là trung điể m c  a AB thì   0 IA   IB +   =            Ta có :   2 MA   MB   MI +   =            nh    nh  t   min MI       là M là hình chiế u c    (P)  Phương trình đườ ng th  ng MI là:   (   )  1 2   1   ; 2   ;  x   t y   t   M   t   t   t z   t  =   +     =   +      +   +        = −  Cho   (   ) (   )   1   2   3   0   2   1;0; 2 M   P   t   t   t   t   M       +   +   +   +   +   =      = −         . b)   G  m th  a mãn 1 1 1 2   4 2   1 2 2   0   1 2   1 2   3 2   1  A   B A   B A   B x   x x y   y IA   IB   y z   z z      =   =             =      =   = −            =   = −               Ta có:   (   ) 2   2   2 MA   MB   MI   IA   MI   IB   MI   MI    =   +      +   =   =                            nh    nh  t      M là hình chiế u c  (P). Phương trình đườ ng th  ng MI là:   (   )  4 1   4   ;   1   ;   3 3  x   t y   t   M   t   t   t z   t  =   +     = − +      +              = −     Cho   (   ) (   )   4   1   3   3   0   3   1;   4;0 M   P   t   t   t   t   M       +      +   +   +   +   =      = −         .  Ví d    2:   Cho các điể m   (   )   (   )   (   ) 1;0;   1 ;   2;   2   0;   ;0 ;1   1 A   C B          và (P) : x   2 y   2 z   6   0    +   +   =   . Tìm điể m M thu  c (P) sao cho a)   min  MA   MB   MC +   +            . b)   min  2   4   3 MA   MB   MC    +            .  L  i gi  i  a) G    (0;1;   2) 0  G GA   GB   GC        +   +   =                  . Ta   có:   3   3 MA   MB   MC   MG   MG +   +   =   =                   M là hình chiế u c  t ph  ng (P).  Phương trình đườ ng th    (   ) 1   2   ;   1   2 ;   2   2 2   2  x   t y   t   M   t   t   t z   t  =     = − −            +     = −   +  Cho   (   ) (   )   4   2   4   4   6   0   0   0;1;   2 M   P   t   t   t   t   M       +      +      +   =      =         . b) G  m th  a mãn 1 1 1 2   4   3   6 2   4   3 2   4   3 2   4   3   0   5 2   4   3 2   4   3   6 2   4   3  A   B   C A   B   C A   B   C x   x   x x y   y   y IA   IB   IC   y z   z   z z     +    =   = −       +       +     +   =      =   =       +       +    =   = −       +                Phương trình đườ ng th    (   )  6 5   2   6   ;5   2 ;   6   2 6   2  x   t y   t   M   t   t   t z   t  = −   +     =            +         +     = −   +   Cho   22   32 89   10 (   )   6   4   10   4   12   6   0   ;   ; 9   9   9   9  M   P   t   t   t   t   M              +   +      +      +   =      =                 .  Ví d    3 :   Cho các đi    (   )   (   )   (   ) 4;1;   1 ;   2;3   6;   2 ;   1 2   3; B A   C        và (P) : x   2 y   z   1   0 +      +   =   . Tìm đi   sao cho   min  2   3 MA   MB   MC +               . Độ   dài đoạ n th  ng OM là:  A.   5 OM   =   .   B.   3 OM   =   .   C.   3 OM   =   .   D.   9 OM   =   .  L  i gi  i

Bài toán cực trị tọa độ không gian Oxyz

Ch       18: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂ M TRONG KHÔNG GIAN    ng 1: Tìm hình chi  u vuông góc c  ng th  ng ho  c m  t ph  ng  Phương pháp giải:     Lo  i 1:   Tìm hình chi  u vuông góc   H   c  m   A   lên đườ ng th  ng    Tham s    hóa điể m   H   AH       . Do   .   0 AH   H u     =       , gi    c  a tham s  , t       c  m   H .  Chú ý:   N  u   A    là điểm đố i x  ng c  a   A   qua đườ ng th  ng      thì   H   là trung điể m c  a AA  T    công th    c  m   A      Lo  i 2:   Tìm hình chi  u vuông góc   H   c  m   A   lên m  t ph  ng ( P ) G  i   d   là đườ ng th    A   và vuông góc v  i ( P ), khi đó   (   ) =        d   P u   n   t      ng th  ng   d   suy ra   (   ) H   d   P =      .  Chú ý:   N  u   A    là điểm đố i x  ng c  a   A   qua m  t ph  ng ( P ) thì   H   là trung điể m c  a AA   Ví d    1:   Trong không gian vớ i h    t    Oxyz , cho đườ ng th  ng   1   2 :   2   1   2  +   +    =   =   x   y   z   . Tìm t     m H là hình chi  u vuông góc c  m   (   ) 2;   3;1 A      lên đườ ng th  ng      .  L   G  i   (   )   (   ) 1   2 ;   2   ; 2   2   3;1   ; 2   1             =             H   t   t   t   AH   t   t   t Cho   (   ) (   ) .   0   2   3;1   ; 2   1 . 2;   1; 2   0 H u   t   t   t     =                  =      (   )   (   )   (   )   (   ) 2 2   3   1   2 2   1   0   1   1;   3; 2 . t   t   t   t   H       +      +      =      =      =     Ví d    2:   Trong không gian v    a đ    Oxyz, cho t     ABCD có  (   )   (   )   (   )   (   ) 1;0;0 , B 0;1;0 ,   0;0;1 ,   2;1;   1 A   C   D         . Tìm t    chân đườ ng cao h    t     nh   D   c  a t    di  n.  L   PT m  t ph  ng   (   )   : x   y   z   1   0 ABC   +   +      =   , phương trình đườ ng th  ng qua   D   và vuông góc v  i ( ABC ) có  vectơ chỉ   phương là   (   )   (   )   2   1   1 1;1;1   :   1   1   1  +      + =   =      =   =        d   P x   y   z u   n   d  (   ) H   d   ABC    =      . G  i   (   ) 2   ;1   ;   1 H   t   t   t   d    +   +      +    Do   (   )   2   1   1   1   0   1 H   P   t   t   t   t       +   +   +      +      =      =   . V    (   ) 1; 2;0 H      .Ví d    3:   Hình chi  u vuông góc c  a   (   ) 2;0;0 M   lên đườ ng th  ng   3 1  x   t y   t z   t  = −     =   +     =   +  có t    là:  A.   (   ) 2; 2;1    .   B.   (   ) 2;0;0    .   C.   (   ) 2;1;   1    .   D.   (   ) 1; 2;   1    .  L   G  i   (   )   (   )   (   ) ;3   ;1   2;3   ;1   ;   1;1;1 d H   t   t   t   MH   t   t   t   u    +   +      =      +   +   =           Cho   (   ) .   0   2   3   1   0   2   2;1;   1 d MH u   t   t   t   t   H =      +   +   +   +   +   =      = −             .   Ch  n C.  Ví d    4 : Hình chi  u vuông góc c  a   (   ) 1; 4; 2 M   lên m  t ph  ng   (   )   : x   y   z   1   0     +   +      =   có t    là:  A.   (   ) 1; 2;0    .   B.   (   ) 2;   1;0    .   C.   (   ) 2;3;1    .   D.   (   ) 3; 2;   1    .  L   Phương trình đườ ng th  ng qua   M   vuông góc v  i   (   )    là:   1   4   2 :   1   1   1  x   y   z d          =   =  (   ) H   d   =      , g  i   (   ) 1   ; 4   ; 2   1   4   2   1   0   2 H   t   t   t   d   t   t   t   t +   +   +         +   +   +   +   +      =      = −  (   ) 1; 2;0 H       .   Ch  n A.  Ví d    5:   Cho m  t ph  ng   (   )   : x   3 y   z   27   0     +         =   . Điểm đố i x  ng v  m   (   ) 2;1;0 M   qua m  t ph  ng   (   )    có t    là:  A.   (   ) 2;   1;0    .   B.   (   ) 2;   1;0       .   C.   (   ) 13;6;   4    .   D.   (   ) 6;13;   4    .  L   Phương trình đườ ng th  ng qua   M   vuông góc v  i   (   )    là:   2   1 :   1   3   1  x   y   z d       =   = −  (   )   (   ) 4;7;   2 H   d   H   =            là trung điể m c  a   (   ) 6;13;   4 MM   M           .   Ch  n D. Ví d    6:    m    i x  ng v  m   (   ) 1;   2;   5 A         qua đườ ng th  ng   (   )  1   2 :   1 2  x   t d   y   t z   t  =   +     = −        =  có t    là:  A.   (   ) 2;   1;7       .   B.   (   ) 1;   2;5       .   C.   (   ) 3; 2;1    .   D.   (   ) 1; 2;   4    .  L   G  i   A    là điểm đố i x  ng qu    A   qua   d.  G  i   (   ) 1   2 ;   1   ; 2 H   t   t   t +         ta có:   (   ) 2 ;1   ; 2   5 AH   t   t   t =      +   Cho   (   )   (   ) .   4   1   4   10   0   1   1;0;   2   3; 2;1 d H u   t   t   t   t   H   A     =   +      +   +   =      = −                      .   Ch  n C.

Bài toán tìm điểm trong không gian

CH       11: T    C   I.   H    tr  c t    trong không gian  Trong không gian, xét ba tr  c t    Ox; Oy; Oz   vuông góc v  i nhau t    O . G  i   ; ; i j k     là các  vectơ đơn vị, tương ứ ng trên các tr  c   Ox; Oy; Oz . H    ba tr   v  y g  i là   h    tr  c t    vuông góc   trong không gian.     O    c g  i là g  c t  .  Các mặ t ph  ng   (   ) (   ) (   ) ;   ; Oxy   Oyz   Oxz    t vuông góc v  i nhau   c g  t ph  ng t  .  Chú ý:   ; ; i j k     là các   vectơ đơn vị    t vuông góc nên   2   2   2 1 i   j   k =   =   =           và   .   .   .   0 i j   j k   k i =   =   =           .  II. Tọa độ, vectơ  1) Định nghĩa:   N  u   (   ) ;   ;   .   .   . u   x y z   u   x i   y j   z k =      =   +   +                2) Các công th  c v    vectơ  Cho 2 vectơ:   (   ) 1   1   1 ;   ; u   x   y   z =     và   (   ) 2   2   2 ;   ; v   x   y   z =     ta có:     T  ng và hi  u c    (   ) 1   2   1   2   1   2 ;   ; u   v   x   x   y   y   z   z    =                 .     Tích c  t s    (   ) (   ) 1   1   1 ;   ; x ku   k   ky   kz   k =           .     Hai vectơ bằng nhau:  1   2 1   2 1   2  x   x u   v   y   y z   z  =   =      =     =         .  Chú ý:   (   )   (   )   (   )   (   ) 0   0;0;0 ;   1;0;0 ;   0;1;0 ;   0;0;1 i   j   k =   =   =   =              .     Hai vectơ   ; u v     cùng phương vớ i nhau   (   ) 1   2 1   1   1 2   2 2   2   2 1   2 0   .  x x   k   x   y   z u   kv   k   y   ky   x   y   z z   kz  =      =         =      =   =     =       (V  i   0 k   >   thì   ; u v     cùng hướng; ngượ c l  i   0 k   <   thì   ; u v     ngược hướ ng)     Tích vô hướ ng c    1   2   1   2   1   2 . u v   x x   y y   z z =   +   +   =     h  ng s  .     Hai vectơ   ; u v     vuông góc v  i nhau   1   2   1   2   1   2 ;   0   0 u v   x x   y y   z z    =      +   +   =          dài vectơ:   2   2   2   2   2   2 1   1   1   2   2   2 ,   . u   x   y   z   v   x   y   z =   +   +   =   +   +           u ki    3 điểm   A, B, C   th  ng hàng  (   ) (   ) (   )  . .   . .  x B   A   C   B B   A   C   A B   A   B   A x   k   x   x AB   k AC   y   y   k   y   y z   z   k   y   y     =      =         =           =             Góc gi    (   )   1   2   1   2   1   2 2   2   2   2   2   2 1   1   1   2   2   2 . cos   ;   .  x x   y y   z z u v u   v   u   v   x   y   z   x   y   z  +   + =   =   +   +   +   +               (v  i   ;   0 u   v              ).  Chú      Khi   .   0 u v   >     thì   (   )   (   ) cos   ;   0   ; u   v   u   v >                 là   góc   nh    ngượ c   l  i   n  u   .   0 u v   <     thì  (   )   (   ) cos   ;   0   ; u   v   u   v <                 là góc tù.  III. Tọa độ   c  m  1) Định nghĩa:     (   ) ;   ;   .   .   . M   x y z   OM   x i   y j   z k    =   +   +               (trong đó   x   là hoành độ ,   y   là tung độ   và   z   là cao độ ).  2) Tính ch  t:  Cho 2 điểm   (   )   (   ) 1   1   1   2   2   2 ;   ;   ;   ;   ; A x   y   z   B x   y   z   ta có:  Vectơ   AB      có t    là:   (   ) 2   1   2   1   2   1 ;   ;   ; AB   x   x   y   y   z   z =               vectơ   (   ) 1   2   1   2   1   2 ;   ; BA   x   x   y   y   z   z =               .     dài đoạ n th  ng AB b    dài vectơ AB và:   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   2   1   2   1   2 AB   AB   x   x   y   y   z   z =   =      +      +        Trung điểm của đoạ n   AB   là   M   có t    là:  1   2 1   2 1   2 2 2 2  x M M M x   x y   y y z   z z  +    =     +    =     +    =    .  Khi đó:   1   2   1   2   1   2 ;   ;   . 2   2   2  x   x   y   y   z   z M   +   +   +              N  u   (   ) 3   3   3 ; y ; C   x   z   và   ABC   t    G   thì:  1   2   3 1   2   3 1   2   3 3 . 3 3  x G G G x   x   x y   y   y y z   z   z z  +   +    =     +   +    =     +   +    =    Ví d    1:   Trong không gian t    Oxyz   cho 3 vectơ   (   )   (   )   (   ) 1; 2;3 ;   0;   1;1 ;   1;5; 2 . a   b   c =   =      =          a)   Tìm tọa độ   các vectơ   u   a   b   c =   +                 và   2   3 v   a   b   c =   +   +             b)   Tính   . ;   . a b   b c        . a c    c)   Tính   (   ) cos   ; a b     và   (   ) cos   ; b c     .  L  i gi  i:

Chuyên đề trắc nghiệm tọa độ của điểm và véctơ

CH       15: VI  T PH   I. LÝ THUY   II. CÁC D  I D  ng 1: Vi  t ph  ng khi bi  n  M  t s    cách xác định vectơ pháp tuyế n c  a m      (   ) P    t   A, B, C   thì có véc tơ pháp tuyế n   ; P n   AB AC     =                (   ) P    m   A   và   song song   v    (   ) Q   thì ta ch  n cho   P   Q n   n =            (   ) P   vuông   góc   v  t   (   ), (   )        thì   ;  P P P n   n   n   n   n n   n                 =                                            (   ) P   song song v    ; a b     thì   ; P P P n   a   n   a b n   b                 =                                 (   ) P      góc v    (   )    thì   ;  P P P n   AB   n   AB n n   n                 =                                        (   ) P   song song v  ng th  ng   1   2 ; d   d   thì   1 1   2 2 ;  P   d P   d   d P   d n   u   n   u   u n   u                 =                                   (   ) P   ch  a    ng th  ng   d   và vuông góc mặt phẳ ng   (   )    thì   ; P   d n   u   n     =                   (   ) P   ch  a    ng th  ng   d   và song song v  ng th  ng      thì   ; P   d n   u   u      =              Ví d    1:   Trong không gian với hệ   t    , Oxyz   phương trình nào dưới đây là phương trình mặ t   phẳng đi qua điể m   (   ) 3;   1;1 M      và vuông góc với đườ ng th  ng   1   2   3  :   ?  3   2   1  x   y   z    +       =   =   A.   3   2   12   0 x   y   z    +      =   B.   3   2   8   0 x   y   z +   +      =   C.   2   3   3   0 x   y   z    +   +   =   D.   3   2   12   0 x   y   z    +   +   =  L  i gi  i  G    (   ) P   là mặt phẳ ng c    (   )   (   ) (   )   3;   2;1 . P P   n   u     =   =           Phương trình mặt phẳ ng   (   ) P   qua   (   ) 3;   1;1 M      và có VTPT   (   ) 3;   2;1 n        là:  (   )   (   )   (   )   (   ) : 3   3 – 2   1   1   1   0 P   x   y   z    +   +      =   hay   3   2      0 x   y   z    +   =   .   Ch  n A.Ví d    2:   Trong không gian với hệ   t    Oxyz   , cho 3 điể m   (   ) 1;0;   2 A      ;   (   ) 1; 2; 4 B      và   (   ) 2;0;1 C   . Phương  trình m    A   và vuôn g góc v    BC   là:  A.   3   2   3      0 x   y   z       =   B.   3   2   3   3   0 x   y   z       +   =   C.   3   2   3      0 x   y   z       =   D.   3   2   3   9   0 x   y   z       +   =  L  i gi  i  G    (   ) P   là mặt phẳ ng c  n tìm thì   (   ) 3;   2;   3 P n   BC =   =              M  ng   (   ) P   qua   (   ) 1;0;   2 A      và có VTPT   (3;   2;   3)   (   ) : 3   2   3   9   0 P n   P   x   y   z =                     =      .   Ch  n C.  Ví   d    3:   Trong   không   gian   với   hệ   t       Oxyz   ,   cho    m   M   (   ) 3;   1;   2 M         và   m    phẳ ng  (   )   : 3   2   4   0 x   y   z    +   +   =    . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua   M   và song song v   (   )    ?  A.   3   2   6   0 x   y   z    +      =   B.   3   2   14   0 x   y   z +         =   C.   3   2   6   0 x   y   z    +   +   =   D.   3   2   14   0 x   y   z +      +   =  L  i gi  i  G    (   ) P   là mặt phẳ ng c    (   )   (   )   (   ) (   )   (   ) / /   3;   1; 2 . P P   n   n    =   =             M  ng   (   ) P   qua   (   ) 3;   1;   2 M         và có VTPT là   (P)   (3;   1; 2) n   =         có phương trình là:   3   2   6   0 x   y   z    +      =   .  Ch  n A  Ví d    4:   Trong không gian với hệ   t    Oxyz   cho m  t c    (   )   2   2   2  :   6   4   2   5   0 S   x   y   z   x   y   z +   +      +      +   =   và   ng th  ng   2   3   1  :   . 1   1   5  x   y   z d      +   + =   =      Viết phương trình mặt phẳ ng   (   ) P   vuông góc với đườ ng th  ng   d   và đi qua tâm củ a m  t c    (   ) S   .  A.   (   )   : 3   2   6   0 P   x   y   z    +      =   .   B.   (   )   :   5   4   0 P   x   y   z +         =   .  C.   (   )   :   5   4   0 P   x   y   z +      +   =   .   D.   (   )   : 3   2   6   0 P   x   y   z    +   +   =  L  i gi  i  Ta có:   (   ) (   )   (   )   (   )   (   )  2   2   2  :   3   2   1   9 S   x   y   z   S    +   +   +      =      có tâm   (   ) 3;   2;1 I      và bán kính   3 R   =  VTCP c  a   d   là   (   ) 1;1;   5 u   =        . M  ng   (   ) P   qua   I   và nh  n   u     làm VTPT.

Bài toán viết phương trình mặt phẳng

CH       12: TÍCH CÓ HƯỚ NG VÀ    NG D  NG 1) Công th  nh th  c:   .  a   b   ad   bc c   d   =    2)    ng c  :   Cho 2 vectơ :   (   )   (   ) 1   1   1   2   2   2 ; y ;   ;   ;   ; z   . u   x   z   v   x   y =   =       Khi đó tích có hướ ng c  a 2   vectơ   (   )   (   ) 1   1   1   2   2   2 ; y ;   ;   ;   ; z u   x   z   v   x   y =   =        ký hi  u:   , u v             là m  t   vectơ   và được tính như sau:   (   ) 1   1   1   1   1   1 1   2   2   1   1   2   2   1   1   2   2   1 2   2   2   2   2   2 ,   ;   ;   ;   ;  y   z   z   x   x   y u v   y z   y z   z x   z x   x y   x y y   z   z   x   x   y            =                           3) Tính chấ t:   ,   ;   ,   ;   ,   , u v   u   u v   v   u v   v u                             = −                                            dài c  a   vectơ   tíc h   có hướ ng   ,   .   .sin( , ). u v   u   v   u v                    Hai   vectơ   ; u v        cùng phương   ,   0 (0;0;0). u v        =           Ba   vectơ   ;   ; a b c            ng ph  ng khi   ,   .   0. a b   c       =           T     m   A, B, C, D   là 4 đ ỉ nh c  a m  t t    di  n khi 3   vectơ   ;   ; AB   AC   AD        không đồ ng ph  ng hay   ,   .   0 AB AC   AD                    và 4    m   A, B, C, D    ng ph  ng khi   ,   .   0. AB AC   AD       =            4)    ng d  ng:     Di    :   ,   . ABCD ABCD   S   AB AD     =            Di    1 :   ,   . 2  ABC ABC   S   AB AC     =              Th    tích khố i h  p   .   '   '   '   ' .   '   '   '   ' :   ,   .   ' . ABCD A B C D ABCD A B C D   V   AB AD   AA     =               Th    tích tứ   di  n   ABCD :   1   ,   .   . 6  ABCD V   AB AC   AD     =              Ví d    1:   Tính tích có hư   a các c    vectơ   sau:  a)   (   )   (   ) 1;0;   2 ;   0;1;3 . a   b =      =        b)   (   )   (   ) 3;1;   1 ;   2;1;   2 . a   b =      =          c)   (   )   (   ) 3;1; 4 ;   1;   1; 2 . a   b =      =           d)   (   )   (   ) 1;3;5 ;   2;   1;3 . a   b =   =          L  i gi  i:  a)   (   )  0   2   2   1   1   0 ,   ;   ;   2;   3;1 . 1   3   3   0   0   1  a b                   =                   b)   (   )  1   1   1   3   3   1  ,   ;   ;   1; 4;1 .  1   2   2   2   2   1  a b                   =                         c)   (   )  1   4   4   3   3   1  ,   ;   ;   6;10; 2 . 1   2   2   1   1   1  a b                   =                      d)   (   ) ,   4;13;   7 . a b                  Ví d    2:  a)   Cho 3   vectơ   (   )   (   )   (   ) 2;   1;1 ;   ;3;   1 ;   1; 2;1 . u   v   m   w =      =      =            Tìm   m      3   vectơ    ng ph  ng.  b)   Cho 3   vectơ   (   )   (   )   (   ) 1; 2;3 ;   2;1;   ;   2;   ;1 . u   v   m   w   m =   =   =            Tìm   m      3   vectơ   không đồ ng ph  ng.  L  i gi  i:  a )   Ta có:   (   ) ,   2;   2;   6   ,   .   2   2   4   6   3   8 u v   m   m   u v   w   m   m   m           =      +   +      = −   +   +   +   +   =   +                     Ba   vectơ   ;   ; u v w          ng ph  ng   8 3   8   0   .  3  m   m    +   =      = −  b)   Ta có:   (   )   2   2  ,   2   3;6   ;   3   ,   .   4   6   6   3   10   9 u v   m   m   u v   w   m   m   m   m   m           =               =      +         = −   +                           3   vectơ   ;   ; u v w         không đồ ng ph    2   1  ,   .   0   10   9   0   . 9  m u v   w   m   m   m                +                         Ví d    3 :   Trong không gian v     tr   a đ    Oxyz , cho 4 đi    (1;0;1);   ( 1;1; 2); A   B     ( 1;1;0);   (2;   1;   2). C   D         a)   Ch  ng   A, B, C, D   là 4 đỉ nh c  a m  t t    di  n.  b)   Tính thể   tích tứ   di  n   ABCD.   Suy ra độ   dài đườ ng cao c  a t    di  nh A.  L  i gi  i:  a)   Ta có:   ( 2;1;1);   ( 2;1;   1);   (1;   1;   3). AB   AC   AD = −   = −      =                   Suy ra   ,   ( 2;   4;0)   ,   .   2   0   ;   ; AB AC   AB AC   AD   AB AC AD           = −         =                                 không đồ ng ph  ng  Do đó   A, B, C, D   là 4 đỉ nh c  a m  t t    di  n.  b)   Th    tích tứ   di  n   ABCD   là:   1   1  ,   .   (   ).  6   3  ABCD V   AB AC   AD        =   =           L    (0;0;   2);   (3;   2;   4)   ,   ( 4;   6;0) BC   BD   BC BD     =      =            = −                     3 1   13  ,   13   (   , (   ))   .  2   13  ABCD BCD BCD V S   BC BD   d A   BCD   S           =   =      =   =        

Chuyên đề trắc nghiệm tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng

CH       14: V    TRÍ TƯƠNG ĐỐI, GÓC, KHOẢNG CÁCH  V    1. V    TRÍ TƯƠNG ĐỐ I 1) V    trí tương đố i c  a 2 m  t ph   Cho 2 m  t ph  ng   (   ) :   0 P   Ax   By   Cz   D +   +   +   =   và   (   ) :   '   '   '   '   0 Q   A x   B y   C z   D +   +   +   = Ta có: (   )   (   )   '   '   '   ' (   ) / /(   )   '   '   '   '  A   B   C   D P   Q   A   B   C   D A   B   C   D P   Q   A   B   C   D        =   =   =    =   =     (P)   c  t   (Q)   :   :   ' :   ' :   ' A B C   A   B   C       c bi  t:   (   )   (   ) (   )   (   )   .   0   .   '   .   '   .   '   0 P   Q P   Q   n   n   A A   B B   C C       =      +   +   =   N  u   (   ) / /(   ) P   Q   thì vecto pháp tuy  n   (   ) P n     c  a m  t ph  ng   (P)   cùng là vect    pháp tuy  n c  a m  t ph  ng   (Q) .  Ngượ c l  i vect    pháp tuy  n   (   ) Q n    a m  t ph  ng   (Q)   cùng là vect    pháp tuy  n c  a m  t ph  ng   (P) . N  u   (   )   (   ) P   Q    thì   (   )   (   ) P   Q n   n         .  Ví d    1: Trong không gian v    a đ    Oxyz, m     (   ) :   2   0 P   x   y   z    +      =   song song v    2   2 (   ) : 2   (   1)   (3   1)   4   0 Q   x   m   y   m   z   m    +   +         =   khi:  A.   1. m   =   B.   1. m   = −   C.   1 . 2  m m  =     =   D.     L  i gi  i    Ta có: 2   2 2   1   3   1   4 (   ) / /(   )   1. 1   1   1   1  m   m   m P   Q   m  +          =   +         = −   Ví d    2 : Trong không gian v    a đ    Oxyz, m     (   ) :   2   1   0 P   x   y   z    +   +   =   trùng   v    m    ph  2   2 (   ) : (2   1)   (   1)   (2   )   3   2   0 Q   m   x   m   y   m z   m       +   +      +      =   khi:  A.   1. m   = −   B.   2. m   =   C.   1. m   =   D.     L  i gi  i     C  Ta có: 2   2 2   1   1   2   3   2 (   )   (   )   1. 1   2   1   1  m   m   m   m P   Q   m     +             =   +   =      =  Ví   d    3 :   Trong   không   gian   Oxy z,   cho   hai   m    ph    2   2 (   ) :   (   2)   2   0 P   m x   y   m   z    +      +   =   và 2 (   ) : 2   2   1   0 Q   x   m y   z +      +   =   . V  i   m   là tham s  ,   m        t ph  ng   (P)   vuông góc v  i m  t ph  ng   (Q)   khi   m  th  a mãnA.   2. m   =   B.   1. m   =   C.   2. m   =   D.   3. m   =  L  i gi  i     C  Các vecto pháp tuy  n c  a hai m  t ph  ng l  t là:   2   2   2 1   2 (   ;   1;   2),   (2;   ;   2) n   m   m   n   m              2   2   2   2 1   2 (   )   (   )   .   0   2   2(   2)   0   4   2 P   Q   n n   m   m   m   m   m       =               =      =      =     Ví   d    4 : Trong không gian v    h   a đ    Oxyz, cho hai   m    ph    (   ) : 2   3   5   0 P   x   ay   z +   +      =   và (   ) : 4   (   4)   1   0. Q   x   y   a   z       +   +   =   Tìm   a      (P)   và   (Q)   vuông góc v  i nhau.  A.   0. a   =   B.   1. a   =   C.   1 . 3  a   =   D.   1. a   = −  L  i gi  i     D  Ta có   (2;   ;3) P n   a =      và   (4;   1;   (   4)) Q n   a =         +      khi đó  (   )   (   )   .   8   3(   4)   0   1 P   Q P   Q   n   n   a   a   a       =         +   =      = −      Ví   d    5 :   Trong không   gian   v    h    tr    t  a       Oxyz,   cho   2   m    ph    (   ) :   1   0 x   y   z     +      +   =   và (   ) :   2   2   2   0. x   my   z        +   +      =   Tìm   m      (   )     song song v  i   (   )    A.   2. m   =   B.   5. m   =   C.   Không t  n t  i.   D.   2. m   = −  L  i gi  i     C  Hai m  t ph    2   2   2 1   1   1   1  m     =   =       do không t  n t  i giá tr    c  a tham s    m  Ví d    6 : Trong không gian v    a đ    Oxyz, cho hai m     (   ) : 3   3   1   0 P   x   y   z +      +   =   và hai m   (   ) : (   1)   (   2)   5   0 Q   m   x   y   m   z    +         +   =   . Tìm t  t c    các giá tr    c  a tham s    m      hai m  t ph  ng   (   ), (   ) P   Q   vuông góc v  i nhau.  A.   1 . 2  m   =   B.   1 . 2  m   = −   C.   2. m   =   D.   3 . 2  m   = −  L  i gi  i     B     mp   (   )   (   ) 1 (   )   (   )   .   0   3(   1)   3   2   0   . 2  P   Q P   mp Q   n   n   m   m   m       =         +   +   +   =      = −    2) V    trí tương đố i c  t ph   Cho    ng th  ng   d   có phương trình chính tắ c   , o   o   o x   x   y   y   z   z a   b   c         =   =   phương trình tham số

Chuyên đề trắc nghiệm vị trí tương đối, góc và khoảng cách

CH       13: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦ U  VẤN ĐỀ   1.   PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG  1. Vectơ   pháp tuyến củ a m    ph  ng  Vectơ   0 n            c g  n c  a m  ng (  ) n   c  a   n     vuông góc vớ i (  ).  Nêu 2 vectơ   u     và   v     không cùng phương và giá của chúng song song  v  i m  t m  ng (  ) (hoặ c n  m trên (  )) thì vectơ   , n   u v     =            là m  t  vectơ   pháp tuyế n c  a m  ng (  ).  Chú ý:   N    0 n           là vectơ pháp tuyế n c  a m  ng (  ) thì   .   (   ,   0) k n   k   k            cũng là một vectơ pháp tuyế n c  a m  ng (  ).  Ví dụ :   N    (2; 4;6) n   =     là m  n c  a m  ng (  ) thì   1   (1; 2;3) n   =     cũng là một vectơ pháp tuyế n c  a m  ng (  ). Trong quá trình tính toán ta nên chọn vectơ đơn giản nhấ t.  2.   M  m   (   ) 0   0   0 ;   ; M   x   y   z   có vectơ pháp tuyế n là   (   ) n   A; B;C =     có phương trình tổng quát  là   0   0   0 (   )   (   )   (   )   0. A x   x   B y   y   C z   z    +      +      =  3.   M  i m  ng   Ax+ By + Cz + D = 0   v  i   A 2   + B 2   + C   2   > 0.  Ngượ c l  i m  ng tr  a m  t m  ng. N  ng (  ) có phương trình   Ax + By + Cz + D = 0   thì vectơ   (   ;   ;   ) n   A B C =     là   vectơ   pháp tuyế n c  a m  ng (  ).  4.   Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắ n M  ng (  ) không đi qua gố c   O , c  t tr  c   Ox   t  m   (   ) ;0;0 A a   ,   c  t tr  c   Oy   t  m   (   ) 0; b;0 B   và c  t tr  c   Oz   t  m   (   ) 0;0; C   c   có phương trình   1  x   y   z a   b   c  +   +   =   ( abc  0).  Phương trình này đượ c g  n c  a m  ng (  ).  5.   M    cách xác định vectơ pháp tuyế n c  a m      (P)    t   A, B, C   thì có vectơ   pháp tuyế n   p n   AB, AC     =              (P)    m   A   và   song song   v  i (Q ) thì ta chọn cho   p   Q n   n =          (P)    m   A   và   vuông góc   v  t (  ), (  )   thì   p p p n   n   n   n ,n n   n                       =                                 (P)    m   A   và   song song   v  i   hai vectơ   thì   , a b        thì   p p p n   a   n   a,b n   b                 =                            (P)    m   A, B   và   vuông góc   v  i (  ) thì   ,  p p p n   AB   n   AB n n   n                  =                               II. Phương trình đường thẳ ng 1.   Vectơ chỉ   phương của đườ ng t hẳ ng  Vectơ   0 u            c g    phương của đường thẳ ng   d   n  a   u     song song hoặc trùng vớ i   d .  Chú ý:   N    0 u           là vectơ chỉ   phương của đường thẳ ng   d   thì   .   (   ;   0) k u   k   k            c  ng là m   phương của đường thẳ ng   d .  2.    m   (   ) 0   0   0 ;   ; M   x   y   z   v    phương (a; b;c) u   =     có:  + Phương trình tham số   :  0 0 0 (   ).  x   x   at y   y   bt   t z   z   ct  =   +     =   +        =   +     (V  i m    t   cho ta các giá trị   t  ng   ,   , x   y   z   tương ứ ng là t    c  a m  m   M   thuộc đườ ng  thẳ ng).  +) Phương trình chính tắc là:   0   0   0 x   x   y   y   z   z a   b   c         =   =   v  n   abc      0.  3.   Cho 2 mặt phẳ ng   (P)   và   (Q)   l    Ax   0 By   Cz   D +   +   +   =   và  A'x   '   '   '   0 B y   C z   D +   +   +   =   v  n   A : B : C   A' : B' : C'    ng t    hai mặt phẳng đó cắt nhau. Gọ i   d   là đường thẳng giao tuyế n c    ng   d   g  m   M (x;y;z)   v  c m  ng   (P)   v  c m  ng   (Q)   nên t    m   M   là nghiệ m c    phương trình   0 0  Ax   By   Cz   D   . A' x   B' y   C' z   D'  +   +   +   =     +   +   +   =   Khi đó   ( P )   Q u   n   ,n     =             v  i   ( P )   Q n   ( A; B;C ); n   ( A'; B';C') =   =         là m    chỉ   phương của đườ ng  thẳ ng   d .  4.   M    cách xác định vectơ   chỉ   phương của đường thẳng hay gặp:     (d)    m   A   và   song song   v  i    ng (  ) thì ta chọn cho   d u   u  =          (d)    m   A   và   vuông góc   v  ng   thẳ ng (  d 1 ), ( d   2 )   thì   1  1   2 2  d   d d   d   d d   d u   u   u   u   ,u u   u                =                                 (d)    m   A   và   song song   v  i   hai mặt phẳ ng (  ), (  )   thì   d d d u   n   u   n ,n u   n                       =                                  (d)    m   A   và   vuông góc   v  ng (  ) ; song song vớ i m  ng   (P)   thì

Phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng và phương trình mặt cầu

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A - LÝ THUYẾT CHUNG
1. Véc tơ trong không gian
* Định nghĩa
Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai
đầu
Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong
không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng.
2. Vecto đồng phẳng

  

* Định nghĩa: Ba vecto a, b, c khác 0 gọi là đồng
phẳng khi giá của chúng cùng song song với một
mặt phẳng.
Chú ý:

n vecto khác 0 gọi là đồng phẳng khi giá
của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Các giá của các vecto đồng phẳng có thể
là các đường thẳng chéo nhau.

* Điều kiện để 3 vecto khác 0 đồng phẳng
Định lý 1:
  



a, b, c đồng phẳn

Trắc nghiệm nâng cao hình học tọa độ Oxyz – Đặng Việt Đông

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Vấn đề 17

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN & MẶT CẦU

A. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc nhau.

Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i  (1;0;0) .

Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j  (0;1;0) .

Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k  (0;0;1).
Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ.





2. Tọa độ vectơ: Vectơ u  xi  y j  zk  u  ( x; y; z ) .





Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:

 
a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )
a cùng phương




b  a  kb (k  R)
ka  (ka1; ka2 ; ka3 )
a1  kb1
a1  b1
 
a
a a


 a2  kb2  1  2  3 , (b1 , b2 , b3  0).
a  b  a2  b2
b1 b2 b3
a  kb
a  b
 3
3
 3 3
2



a 2  a  a12  a22  a32
a.b  a1.b1  a2 .b2  a3.b3
a  a12  a22  a22

 

a1b1  a2b2  a3b3
a.b
 
cos( a , b )    
a  b  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0
2
a .b
a1  a22  a32 . b12  b22  b32

3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z )  OM  ( x; y; z ) . Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC )

Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Hệ trục tọa độ trong không gian

Chuyên đ    1 2 :   Hình h  c gi  i tích trong không gian  690  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  Email :   dangnamneu@gmail.com  Yahoo: changtraipkt  Mobile: 0976266202  CHUYÊN Đ    1 2 :  HÌNH   H  C   GI  I   TÍCH   TRONG   KHÔNG  GIANChuyên đ    1 2 :   Hình h  c gi  i tích trong không gian  691  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Hình học giải tích không gian – Đặng Thành Nam

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC   BẮC   TRUNG NAM  L  u  Chào các Em h  c sinh thân m  n!  B  u t    năm 2017, kỳ   thi THPT Qu  c gia s      ng hình th  c tr  c nghi  i v   là m  u m  i m     i v  i t  t c    các em cũng như các Thầ y giáo, Cô giáo. Khi bi  t thông tin v    s     i m  i này, b  n thân các em h  c sinh r  t b  i r  i vì b    b  t ng    b  c ti  p xúc v  i hình th  c tr  c nghi  m môn Toán t    trước đế n nay. Chính vì v  y các Th  n v  t v    mang đế n cho các em ngu  n h  c li  u t  t nh  ng nh    các em đượ c rèn luy  c k    thi s  p t  i! Các Th  y, Cô xin g  i t  i các em cu  n:     TRONG KHÔNG GIAN”.  N  i dung cu  n tài li  u bám sát n  i dung ki  n th  c trong c    MINH H  A c  a B    GD&ĐT  và SGK Hình h  n. Tài li  c chia thành 5 ph  n:  Phần 1.   H    T    TRONG KHÔNG GIAN.  Phần 2.   PHƯƠNG TRÌNH MẶ T PH  NG TRONG KHÔNG GIAN.  Phần 3.   PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜ NG TH  NG TRONG KHÔNG GIAN.  Phần 4.   BÀI T  P ÔN T   Phần 5.   GI  I TOÁN HÌNH KG B  NG PP T  .  Th  y hy v  ng r  ng cu  n tài li  u s    giúp các em chu  n b    th  t t  t cho k    thi THPT Qu  c gia. Cu  i  cùng xin chúc các em đạt điể m cao trong k    thi s  p t  i! M  t s  c c    g  ng và tâm huy    có t  p tài li  u này, song trong quá trình biên so  n ch  c ch  n không tránh kh  i sai sót nh  nh. R  t mong s    thông c  m c  a b  c g    chúng tôi có nh  ng s  a ch  a k  p th  i và hoàn thi  n tài li  u theo email mr.nguyenquocthinh@gmail.com ! Trong cu  n tài li  u có s    d  u c  a nhi  u tác gi  c phát hành v  i m  c   i nhu  n nên kính mong các th  ng th  ! Nhóm tác gi  : 1. Th  y Nguy  n Qu  c Th  nh      THPT Tr  n T    An Lão, H  i Phòng. 2. Th  nh      TT GDNN GDTX Thanh Oai, Hà N  i. 3. Th  y Nguy  n      TT GDNN GDTX Phú L  c, Th  a Thiên Hu  . 4. Th  c Danh      Tân An, Long An. 5. Th  ng Công Vinh B  u      THPT Nguy  n H  u C  u, TP H    Chí Minh. 6. Th  y Ngô Nguy        ng. 7. Th  y Tr  n Bá H  i      THPT Qu    H  p 1, Ngh    An. 8. Th    THPT Marie Curie, H  i Phòng. 9. Cô Nguy  n Th  o Nguyên. 10. Th  y Nguy  n Hoàng Kim Sang      THPT Thanh Bình, Tân Phú , Đồ ng Nai. 11. Cô Nguy  n Ngân Lam      THPT Tr  o, H  i Phòng.  Mùa xuân, tháng 1   năm 2017.

Trắc nghiệm và tự luận phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Quốc Thịnh

A.  H HU U   N NH H V V   N N L L    N NG G 0 09 91 18 8. .8 85 59 9. .3 30 05 5 –  01 12 23 34 4. .4 44 44 4. .3 30 05 5 –  09 93 33 3. .4 44 44 4. .3 30 05 5 0 09 96 63 3. .1 10 05 5. .3 30 05 5 –  09 92 29 9. .1 10 05 5. .3 30 05 5 –  06 66 66 6. .5 51 13 3. .3 30 05 5  --           ----  www.huynhvanluong.com  Chúc các em    t k  t qu    cao trong k    thi s  p t  i Hu  nh V  n L  ng  (  ng hành cùng hs trong su  t ch  n    ng THPT )  L  U HÀNH N  I B Luy  n thi THPT Qu  c gia (Hình Oxyz)   www.huynhvanluong.com Hu  nh v  n L  ng   Trang 2   0918.859.305-01234.444.305  H    TH  NG KI  N TH  C HÌNH Oxyz  Download mi  n phí t  i Website:   www.huynhvanluong.com  Biên so  n :   Hu  nh V  n L  ng   ( email: hvluong@hcm.vnn.vn)  0918.859.305 – 01234.444.305 – 0933.444.305-0929.105.305 -0963.105.305-0666.513.305-0996.113.305  ------------------------------------------------------  1. T  a       i  m và véct    :     H    to       trong không gian g  m ba tr  c   ,   ,  Ox Oy Oz      t vuông góc, các véc t     n v    t  ng    ng trên ba tr  c l  n l  t là:   ), 0 ; 0 ; 1 ( = i     ) 0 ; 1 ; 0 ( = j     ,   ) 1 ; 0 ; 0 ( = k       (   ) ;   ;  u x y z   u   x i   y j   z k    =   +   +                  .     2 2 2   z y x u z) y; (x; u   + + =  =     (   ) ;   ;  B   A   B   A   B   A  AB   x   x   y   y   z   z =               (   )   (   )   (   ) =   =   =      +      +        2   2   2  B   A B   A B   A  AB   BA   AB   x   x   y   y   z   z   .     Neáu I laø trung ñieåm cuûa   AB   thì   I   ;   ; 2   2   2  A   B   A   B   A   B x   x   y   y   z   z +   +   +                   Neáu G laø troïng taâm cuûa    ABC   thì   ;   ; 3   3   3  A   B   C   A   B   C   A   B   C x   x   x   y   y   y   z   z   z  G   +   +   +   +   +   +                  Neáu G laø troïng taâm t    di  n   ABCD   thì   4   4   4  A   B   C   D   A   B   C   D   A   B   C   C x   x   x   x   y   y   y   y   z   z   z   z  G   ;   ;      +   +   +   +   +   +   +   +   +              ABCD laø hình bình haønh      AB=DC            D là chân    ng phân giác trong c  a góc A thì   DB   AB  AC DC   = −           t  a      D     I là tâm       ABC thì   IA   BA  BD ID   = −           t  a      K  2 .   Tích các hai vect    và    ng d  ng:  a) Tích vô h  ng:   Cho   (   )   (   ) 1   1   1   2   2   2  ;   ;   &   ;   ;  u x   y   z   v   x   y   z        . Ta có:     (   ) =               .   .   .cos   ,  u v   u   v   u v    =   +   +     1   2   1   2   1   2 .  u v   x x   y y   z z   .     0 . . . 0 .   2 1 2 1 2 1   = + +  =     z z y y x x v u v u  b) Tích höõu höôùng:   cho hai vect    (   ) 1   1   1  ;   ;  u x   y   z     và   (   ) 2   2   2  ;   ;  v   x   y   z     . Ta có:     (   ) ,   .   .sin   ,  u v   u   v   u v       =                     .     1   1   1   1   1   1 2   2   2   2   2   2  ,   ;   ;  y   z   z   x   x   y  u v   y   z   z   x   x   y             =                          .     &  u   v        cùng ph  ng     ,   0  u v       =               2   2   2  1   1   1  x   y   z  x   y   z  =   =     A,B,C th  ng hàng      AB, AC          cùng ph  ng     A,B,C,D là ba    nh c  a tam giác      AB, AC          không cùng ph  ng     Di  n tích tam giác:   1   , 2  ABC S   AB AC     =               Di  n tích hình bình hành:   , ABCD S   AB AD     =          

Bài tập trắc nghiệm hình học Oxyz – Huỳnh Văn Lượng

Hocmai.vn      Website h  c tr  c tuy  n s    1 t  i Vi  t Nam  Khóa h  c   PEN      C Toán tr  c nghi  m   (T h  y   Lưu Huy Thư  ng )  Hocmai      Ngôi trư  ng chung c  a h  c trò Vi  t   T  ng đài tư v  n:   1900   6933   -   Trang |   1   -  TUY  N T  P M  T S    BÀI TOÁN C  C TR   VI  T PH  NG  https://www.facebook.com/ThuongToan.hocmai Biên so  ng HT 1.   Trong không gian v  i h    t  Oxyz,   cho điể m A(1;1;1)   . G  i     P   là m  t ph   m A và cách g  c t    O m  t kho  ng l  n nh  t.   Khi đó, mặ t ph  ng     P    m nào sau    A.     1  M   1; 2; 0 .   B.     2  M   1;   2; 0 .    C.     3  M   1; 2; 0 .    D.     4  M   1;   2; 0 .      Hƣớ ng d  n  Cách 1: Phƣơng pháp hình họ c  G  i H   là hình chi  u vuông góc c  a O   trên m  t ph  ng     P  Ta có: OH   OA.            d O, P   max   OH   OA      H   A       OA   P   hay OA   là m  t vec- tơ pháp tuyế n c  a     P  Ta có:                      P qua A 1;1;1 P nhan OA   1;1;1 la 1vtpt           Phương trình tổ ng quát c  a     P   là:                 1. x   1   1. y   1   1. z   1   0   x   y   z   3   0.                                    P    m     1  M   1; 2; 0 .   Ch   Cách 2: Phƣơng pháp đạ i s  P  H      A  P   A  O  O  HHocmai.vn      Website h  c tr  c tuy  n s    1 t  i Vi  t Nam  Khóa h  c   PEN      C Toán tr  c nghi  m   (T h  y   Lưu Huy Thư  ng )  Hocmai      Ngôi trư  ng chung c  a h  c trò Vi  t   T  ng đài tư v  n:   1900   6933   -   Trang |   2   -  B  t đ  ng th  c Bunhiacopxki: V  i m  i s  1   2   3   1   2   3  a ,a ,a , b , b , b   ta luôn có:              2   2   2   2   2   2   2 1   1   2   2   3   3   1   2   3   1   2   3  a b   a b   a b   a   a   a   b   b   b                     D  u "   "    x  y ra khi và ch    khi: 3 1   2 1   2   3  a a   a b   b   b       M  t ph  ng     P   qua     A 1;1;1      Phương trình tổ ng quát c  a     P   có d  ng: 2   2   2  Ax   By   Cz   A   B   C   0 (A   B   C   0).                           Kho  ng cách t  O    n     P :           2   2   2  A   B   C d O; P A   B   C              ng b  ng th  c Bunhiacopxki cho 6 s    ta đượ c:              2 2   2   2   2   2   2  A   B   C   1   1   1   A   B   C                           2   2   2   2   2   2  A   B   C   1   1   1   A   B   C                       2   2   2  A   B   C   3. A   B   C               D  u "   "    x  y ra khi: A   B   C 1   1   1           Ch  n A   1 B   1 C   1                     Phương trình     P : x   y   z   3   0.               P    m     1  M   1; 2; 0 .   Ch   HT 2.   Trong không gian v  i h    t  Oxyz,   cho điể m A(2;   1;1)    . G  i     P   là m  t ph   m A và cách g  c t    O m  t kho  ng l  n nh  t.   Khi đó, mặ t ph  ng     P    m nào sau    A.     1  M   1;   2; 2 .       B.     2  M   1;   2;   2 .       C.     3  M   1;   2; 2 .    D.     4  M   1; 2; 2 .  Hƣớ ng d  n  Cách 1: Phƣơng pháp   hình h  c      H  c sinh t    làm     Cách 2: Phƣơng pháp đạ i s 

Tuyển tập một số bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian – Lưu Huy Thưởng

      2017  Giáo viên:  Võ Thàn h Lâm   - 0947313384   1    PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  1.   HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ      PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU :     Nội dung trên lớp:  Câu 1.   Trong không gian Oxyz cho   (   )   (   ) 1   2   3   1   2   3 ;   ;   ;   ;   ; a   a   a   a   b   b b   b =   =        .   Cho các phát biểu sau:  I.   1   1   2   2   3   3 .   .   .   . a b   a b   a b   a b =   +   +     II.   , a b     cùng phương   3 1   2 1   2   3  a a   a b   b   b  =   =  III.   (   ) 2   3   3   2   3   1   1   3   1   2   2   1 ,   ;   ; a b   a b   a b   a b   a b   a b   a b                      IV.  1   1 2   1 3   3 . .   (   ) .  a   k b a   b   a   k b   k   R a   k b  =   =      =        =        V.   (   )   . cos   ,   .  a b a b   a   b  =            VI.   .   0 a   b   a b       =          Có bao nhiêu phát biểu      trong các phát biểu trên ?  A.   2   B.   4   C.   5   D.   6  Câu 2.   Trong không gian Oxyz cho 4 điểm: A, B, C, D. Có các phát biểu sau:  I.   Diện tích tam giác ABC là:   1   . 2   AB AC      II.   ,   , AB AC AD         ,   .   0 AB AC   AD        =            III.   Thể tích tứ diện ABCD là:   1   ,   . 6   AB AC   AD                 IV.   ABCD là hình bình hành   AB   CD =         Có bao nhiêu phát biểu      trong các phát biểu trên ?  A.   1   B.   2   C.   3   D.   4  Câu 3.   Trong không gian v  i h    to       Oxyz   cho   (   ;   ;   ) ,   (   ;   ;   ) A   A   A   B   B   B A x   y   z   B x   y   z   . Ch  n công th  c    .  A.   (   ; y   ; z   ) A   B   A   B   A   B AB   x   x   y   z =   +   +   +      .   B.   (   ; y   ; z   ) B   A   B   A   B   A AB   x   x   y   z =               .  C.   2   2   2 (   )   (y   )   (z   ) B   A   B   A   B   A AB   x   x   y   z =      +      +         .   D.   (   ; y   ; z   ) A   B   A   B   A   B AB   x   x   y   z =               .  Câu 4.   Cho 3 vectơ   (1;   2; 3),   (   2; 3; 4),   (   3;2;1) a   b   c                   . Toạ độ của vectơ   2   3   4 n   a   b   b                    là:  A.   (   4;   5;   2) n               B.   (   4;5;2) n         C.   (4;   5;2) n            D.   (4;   5;   2) n              Câu 5.   Cho   3   3   2 u   i   k   j =      +            Tọa độ vectơ   u     là:  A.   (-3; -3; 2)   B.   (3; 2; 3)   C.   (3; 2; -3)   D.   (-3; 3; 2)  Câu 6.   Góc tạo bởi 2 vectơ   (   4;2; 4) a        và   (2   2;   2   2; 0) b           bằng:  A.   0 30   B.   0 45   C.   0 90   D.   0 135  Câu 7.   Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD với   (   )   (   )   (   )   (   ) 1;0;0 ,   0; 2;0 ,   0;0;3 ,   3;   2;5 A   B   C   D      là:  A.   (1;0; 2).   B.   (1;1; 2).   C.   (1;0;1).   D.   1   1 (   ;1;   ). 2   2  Câu 8.   Cho   (1;0;0),   (0;0;1),   (2;   1;1) A   B   C      . Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác là  A.   2   B.   30 10   C.   3 . 2   D.   6 . 5      2017  Giáo viên:  Võ Thàn h Lâm   - 0947313384   2  Câu 9.   Cho hình bình hành   ABCD :   (2; 4;   4),   (1;1;   3),   (   2; 0;5),   (   1; 3; 4) A   B   C   D             . Diện tích của hình này bằng:  A.   245      B.   345      C.   615      D.   618     Câu 10.   Cho tứ diện   ABCD   :   (0; 0;1),   (2; 3;5),   (6;2; 3),   (3;7;2) A   B   C   D   . Hãy tính thể tích của tứ diện?  A. 10      B. 20      C. 30      D. 40     Câu 11.   Trên hệ trục toạ độ Oxyz cho 3 vectơ   (   1;1; 0),   (1;1; 0),   (1;1;1) a   b   c                , hình hộp   .   '   '   '   ' OACB O A C B  thoả mãn điều kiện   ,   , OA   a OB   b OC   c                         .   Hãy tính thể tích của hình hộp trên?  A.   1 3      B.   2 3      C.   2      D.   6     Câu 12.   Trong cá c phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu ?  (I):   (   )   (   )   (   )  2   2   2   2  x   a   y   b   z   c   R    +      +      =   (II):   0 Ax   By   Cz   D +   +   +   = (III):   0   0   0 1   2   3  x   x   y   y   z   z a   a   a         =   =   (IV):   2   2   2   2   2   2   0 x   y   z   ax   by   cz   d +   +            +   =   với   2   2   2   0 a   b   c   d +   +      >  A.   (I)   B.   (IV)   C.   (III)   D.   Cả A và B đều đúng.  Câu 13.   Phương trình mặt cầu tâm I(1;2;3) và đi qua gốc tọa độ O l   A.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   2   3   14 x   y   z +   +   +   +   +   =   B.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   2   3   14 x   y   z    +      +      = C.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   2   3   14 x   y   z +   +   +   +   +   =   D.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   2   3   14 x   y   z    +      +      = Câu 14.   Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(1;2; -2), B(-3;2;6).  A.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   2   2   20 x   y   z    +   +   +   +   =   B.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   2   2   20 x   y   z +   +      +      = C.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   2   2   2   5 x   y   z    +   +   +   +   =   D.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   2   2   20 x   y   z +   +      +      = Câu 15.   Cho A(1;3;-2) và (P): 2x-y+2z- 1=0. Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P) có phương trình là:  A.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   3   2   4 x   y   z    +      +   +   =   B.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   3   2   2 x   y   z    +      +   +   =  C.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   3   2   4 x   y   z    +      +      =   D.   (   )   (   )   (   ) 2   2   2 1   3   2   2 x   y   z    +      +   +   =   .  Câu 16.   Cho đường thẳng d:   1   1 2   1   1  x   y   z    + =   =      và điểm A( 1;- 4;1). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d có phương trình  là:  A.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   4   1   14 x   y   z    +   +   +      =   B.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   4   1   14 x   y   z +   +      +   +   =  C.   (   )   (   )   (   ) 2   2   2 1   4   1   14 x   y   z    +   +   +      =   D.   (   )   (   )   (   )  2   2   2 1   4   1   41 x   y   z    +   +   +      =   .  Câu 17.   Cho mặt cầu (S):   2   2   2   2   2   2   2   0 x   y   z   x   y   mz +   +      +      +   =   . Tìm m để bán kính mặt cầu (S) đạt giá trị nhỏ nhất.  A.   0 m   =   B.   0 m      C.   0 m   >   D.   0 m   < Câu 18.   Cho bốn điểm A(6; -2;3), B(0;1;6), C(2;0;- 1), D(4;1;0). Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp diện ABCD là.  A.   (   ) 2;   1;3 , R=   17 I      B.   (   ) 2;1;3 , R=   17 I   C.   (   ) 2;1;   3 , R=   17 I         D.   (   ) 2;   1;3 , R=17 I    Câu 19.   Thể tích khối cầu có phương trình   2   2   2   2   4   6   0 x   y   z   x   y   z +   +            =   là:  A.   56   14 3  V    =   B.   14 3  V   65π =   C.   56 14 3  V   =   D.   14 . 3  V    =  2.   PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG :     Nội dung trên lớp:  Câu 1.   Cho mặt phẳng (P) có phương trình   3   2   1   0 x   y   z    +      =   . Véctơ nào sau đây không là véc tơ pháp tuyến của  (P)?

Bài tập ôn chương phương pháp tọa độ trong không gian – Võ Thành Lâm

CHUYÊN Đ   PHƯƠNG PH   T  A Đ    KHÔNG   GIAN  BIÊN SO  N  TR  C NGHI  M   HÌNH H  C   12   n tho  i: 0916.563.244  Website: TOANMATH.com  Mail: nhinguyenmath@gmail.com Tài luy  n thi TNQG năm 2017CHUYÊN ĐỀ   PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ   KHÔNG GIAN   TR  C NGHI  M TOÁN 12  NGÔ NGUYÊN      0916.563.244   1  M  C L  C  TÓM T  T LÍ THUY  T  ................................................................................................................................................................ 2  CÁC D  NG BÀI T  P  .................................................................................................................................................................... 4  CH       1. CÁC PHÉP TOÁN V    T    VÉC TƠ. XÁC ĐỊNH ĐIỂ M      M  T S    TÍNH CH  T HÌNH H  C  ............................................................................................................................................................................................................. 4  I. PHƯƠNG PHÁP GIẢ I VÀ BÀI T  NG D  N   ....................................................................................... 4  II. BÀI T  P T    LUY  N   ................................................................................................................................................ 4  CH       2. PHƯƠNG TRÌNH MẶ T C  U   ........................................................................................................................... 27  I. PHƯƠNG PHÁP GIẢ I VÀ BÀI T  NG D  N   ..................................................................................... 27  II. BÀI T  P T    LUY  N   .............................................................................................................................................. 29  CH       3. PHƯƠNG TRÌNH MẶ T PH  NG   .................................................................................................................... 42  I. PHƯƠNG PHÁP GIẢ I VÀ BÀI T  NG D  N   ..................................................................................... 42  II. BÀI T  P T    LUY  N   .............................................................................................................................................. 44  CH       4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜ NG TH  NG   ............................................................................................................ 71  I . PHƯƠNG PHÁP GIẢ I VÀ BÀI T  NG D  N   ..................................................................................... 71  II. BÀI T  P T    LUY  N   .............................................................................................................................................. 73

Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian – Ngô Nguyên

Tập 02  Biên Hòa    Ngà   y   13   thá   ng   03   năm   2018  TÀI   LIỆU L  U HÀNH NỘI BỘ  PHÂN   LOA    I   DA    NG   VA   PH  NG   PHA    P   GIA    I NHANH  TOÁN L  P   121     h    t     ng N ai qua sđt   0914449230 (Zalo      facebook)  Gv. ThS Nguy  n Vũ Minh      SƯU T  M và BIÊN SO  N   2018  1. Ph  ng tr  nh t    c  ng th  ng   d   :             (Q) 0 ' ' ' ' ) ( 0  D z C y B x A P D Cz By Ax  l|   giao tuy  n   c    vect    ch    ph  ng   : (P)   (Q) u   n   , n          Ví dụ   (THPT chuyên Phan Bội Châu lầ n 2) :   Trong không gian vớ i h    t  Oxyz   , cho hai  m  t ph  ng      : 2   1   0 P   x   y   z             v|      :   2   5   0 Q   x   y   z             . Khi đó,   giao tuy  n   c  a      P   v|      Q  có mộ t vect    ch    ph  ng l | : A.      1;3;5 . u      B.      1;   2;1 . u        C.      2;1;   1 . u         D.      1;3;   5 . u        2.   Ph  ng tr  nh tham s  :  d   l| đườ ng th  ng qua 0   0   0   0 M (   ;   ;   ) x   y   z   v|   có vectơ   ch    ph  ng     u   a; b; c   Khi đó phương trình tham số   (PTTS) c  a   d   có dạ ng 3.   Ph  ng tr  nh ch  nh t  c :  VD 01 :   vi     1) v| có VTCP l|     u   1; 2; 4   <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<  <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<  Ph  n 5   :   PHƢƠNG TRÌNH ĐƢ  NG TH  NG  P   Q  d

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Vũ Minh (Tập 2)

ST&BS: Th.S Đ      Hình h      liên h    -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpayST&BS: Th.S Đ      Hình h      liên h    -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  BÀI 1:   H   A      LÝ THUY  T CHUNG  1.1. Khái ni  m m      u  Trong không gian cho ba tr  c   ,   , Ox Oy Oz   phân bi  t và vuông góc t  ng đôi m  t. G  c t  a đ    , O   truc hoành  , Ox   tr  c tung   , Oy   tr  c cao   , Oz   các m  t t  a đ                    ,   ,   . Oxy   Oyz   Ozx  1.2. Khái ni  m v    h    tr  c t  a đ   Khi không gian có h    t  a đ    thì g  i là không gian t  a đ    Oxyz   hay không gian   . Oxyz  Chú ý:  1.3. T  a đ    véc tơ  1.4. T  a đ      m  1.5. Các công th  c t  a đ    c  n nh   Cho    '  '  '  a   a  u   v   b   b  c   c                                                 1.6.   Chú ý  G   a 2 véc tơ   là góc hình h  c (nh  ) gi  a 2 tia mang véc tơ có, giá tr    trong   là:  1.7. Chia t    l      n th  ng  M chia AB theo t    s    k ngh    i   j   k  a   a  i j   ik   jk  2   2   2  2 2  1  0                                         u   x y z   u x y z   u   xi   y j   zk ( ; ; )   ( ; ; )                                   M x y z   OM   xi   y j   zk ( ; ; )                          u   a b c   v   a b c ( ; ; ),   (   ;   ;   )                      u   v   a   a b   b c   c ;   ;                          ku   ka kb kc (   ;   ;   )     u v   u   v   u v   aa   bb   cc .   .   .cos( , )                                 u v   aa   bb   cc  u v  u   v   u   v  .  cos( , )  .   .                                   u   u   a   b   c  2   2   2   2                  u   v   u v .   0                     B   A   B   A   B   A  AB   x   x   y   y   z   z ;   ;                              B   A   B   A   B   A  AB   AB   x   x   y   y   z   z  2   2   2                            u v ,    0;                      u v   u v 2  sin   ,   1   cos   ,   0              MA   kMB       

Hình học tọa độ Oxyz (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông

MỤC LỤC  1   HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN   1 A   KIẾN THỨC TRỌNG TÂM   1 1   Hệ tọa độ trong không gian   1 2   Tọa độ một điểm   1 3   Tọa độ của một véc-tơ   1 4   Biểu thức toạ độ của các phép toán véc-tơ   1 5   Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và một số ứng dụng   2 6   Tích có hướng của hai véc-tơ và ứng dụng   2 6.1   Tích có hướng   2 6.2      3 7   Các bất đẳng thức vectơ   3 8   Phương trình mặt cầu   3 B   CÁC DẠNG TOÁN   4 1   Tìm tọa độ của vectơ và của điểm   4 2   Chứng minh ba vectơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng   5 3   Tích vô hướng và các ứng dụng   6 4   Chứng minh các tính chất hình học   9 5   Chứng minh các bất đẳng thức   11 6   Mặt cầu   12 C   BÀI TẬP RÈN LUYỆN   13 D   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   17 1   Nhận biết   17 1.1      41 2   Thông hiểu   42 2.1      58 3   Vận dụng tháp   58 3.1      72 4   Vận dụng tháp   73 4.1      80 2   PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG   82 A   KIẾN THỨC TRỌNG TÂM   82 1   Véc-tơ pháp tuyến   82 2   Phương trình tổng quát của mặt phẳng   82 2.1      82 2.2   Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng   83 2.3   Góc giữa hai mặt phẳng   83 B   CÁC DẠNG TOÁN   83 1   Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng   AB   cho trước   83 1.1   Bài tập áp dụng   84 2   Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có cặp véc-tơ chỉ phương cho trước. 84 2.1   Bài tập rèn luyện   85https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   Chương 3 - Học học 12  3   Viết phương trình mặt phẳng   ( P )      M   và vuông góc với đường thẳng   d       A   và   B   88 3.1   Bài tập rèn luyện   88 4   Viết phương trình mặt phẳng   ( P )      A ,   B   và vuông góc với mặt phẳng   ( Q )   90 4.1   Bài tập rèn luyện   90 5   Viết phương trình mặt phẳng   ( P )      M   và chứa đường thẳng      92 5.1   Bài tập rèn luyện   92 6   Viết phương trình mặt phẳng   ( P )   chứa hai đường thẳng song song    1   và    2   93 6.1   Bài tập rèn luyện   93 7   Viết phương trình mặt phẳng   ( P )   chứa hai đường thẳng cắt nhau    1   và    2   94 7.1   Bài tập rèn luyện   95 8   Viết phương trình mặt phẳng   ( P )   chứa đường thẳng    1   và song song với đường thẳng   2   với    1   và    2   chéo nhau   95 8.1   Bài tập rèn luyện   96 9   Viết phương trình mặt phẳng   ( P )      M , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng  (  )   và   (  )   98 9.1   Bài tập rèn luyện   99 10   Viết phương trình mặt phẳng   ( P )      M   và giao tuyến của hai mặt phẳng  (  ) ,   (  )   101 11   Viết phương trình mặt phẳng   ( P )   tạo với mặt phẳng   ( Q )   cho trước một góc      105 11.1 Bài tập rèn luyện   106 12   Viết phương trình mặt phẳng   ( P )   liên quan đến khoảng cách   108 12.1 Bài tập rèn luyện   109 C   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   111 1   Nhận biết   111 1.1      130 2   Thông hiểu   131 2.1      169 3   Vận dụng tháp   171 3.1      191 4   Vận dụng tháp   192 4.1      203 3   PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG   204 A   KIẾN THỨC TRỌNG TÂM   204 1   Phương trình tham số của đường thẳng   204 2      204 3      204 4   Khoảng cách   205 4.1   Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng   205 4.2   Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau   205 B   CÁC DẠNG TOÁN   205 1      205 1.1   Bài tập rèn luyện   206 2   Viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng   209 2.1   Bài tập rèn luyện   209  Th.s Nguyễn Chín Em   2   https://emncischool.wixsite.com/geogebra

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Chín Em

BẢN MỚI NHẤT tháng 11/2019   Mua word liên hệ 0975120189 thầy KHÁNH 1  CHUÛ ÑEÀ 7.   PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN  I - TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ 1. Tọa độ của một điểm  Trong không gian   , Oxyz   cho một điểm   M tùy      Vì   ba vectơ   , i     , j     k     không    phẳng nên có một bộ ba số       ;   ; x y z   duy nhất sao cho:  . OM   xi   y j   z k                    Ngược lại với bộ ba số       ;   ; x y z   ta có một điểm   M   duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức   . OM   xi   y j   z k                    Ta gọi bộ ba số       ;   ; x y z      M      Oxyz         ;   ; M   x y z    hoặc       ;   ;   . M   x y z  2. Tọa độ của vectơ  Trong không gian   , Oxyz   cho vectơ   . a     Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số       1   2   3 ;   ; a   a   a sao cho:   1   2   3   . a   a i   a   j   a k                  Ta gọi bộ ba số       1   2   3 ;   ; a   a   a      a        Oxyz   cho trước và viết       1   2   3 ;   ; a   a   a   a      hoặc       1   2   3 ;   ;   . a a   a   a    II - BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ    Trong không gian   , Oxyz   cho hai vectơ       1   2   3 ;   ; a   a   a   a      và       1   2   3 ;   ;   . b   b   b   b      Ta có: a)       1   1   2   2   3   3 ;   ;   . a   b   a   b   a   b   a   b                  b)       1   1   2   2   3   3 ;   ;   . a   b   a   b   a   b   a   b                  c)             1   2   3   1   2   3 ;   ;   ;   ; ka   k a   a   a   ka   ka   ka         với   k   là một số thực.  HEÄ   TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN2  Hệ quả  a) Cho hai vectơ       1   2   3 ;   ; a   a   a   a      và       1   2   3 ;   ;   . b   b   b   b      Ta có  1   1   2   2   3   3 ;   ;   . a   b   a   b   a   b   a   b                 b) Vectơ   0     có tọa độ là       0;0;0 . c) Vectơ   0 b           thì hai vectơ   a     và   b     cùng phương khi và chỉ khi có một số   k sao cho   1   1   2   2   3   3 ;   ;   . a   kb   a   kb   a   kb        d) Trong không gian   , Oxyz   nếu cho hai điểm       ;   ;   , A   A   A A x   y   z       ;   ; B   B   B B x   y   z   thì      ;   ;   . B   A   B   A   B   A AB   OB   OA   x   x   y   y   z   z                           III - TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng    Trong không gian   , Oxyz   tích vô hướng của hai vectơ       1   2   3 ;   ; a   a   a   a    và       1   2   3 ;   ; b   b   b   b        1   1   2   2   3   3 .   . a b   a b   a b   a b            2. Ứng dụng  a)      Cho vectơ       1   2   3 ;   ;   . a   a   a   a      Ta biết rằng   2   2  a   a         hay   2   . a   a        Do đó   2   2   2  1   2   3   . a   a   a   a           b)   Khoảng cách giữa hai điểm.   Trong không gian   , Oxyz   cho hai điểm       ;   ; A   A   A A x   y   z   và      ;   ;   . B   B   B B x   y   z   Khi đó khoảng cách giữa hai điểm   A   và   B   chính là độ dài của vectơ  . AB      Do đó ta có:                   2   2   2  . B   A   B   A   B   A AB   AB   x   x   y   y   z   z                        c)   Góc giữa hai vectơ.   Nếu          1   2   3 ;   ; a   a   a   a      và       1   2   3 ;   ; b   b   b   b      với  a     và   b     0     .  cos   .  .  a b  a   b               Do đó        1   1   2   2   3   3 2   2   2   2   2   2 1   2   3   1   2   3 cos   cos   ,   . .  a b   a b   a b a b a   a   a   b   b   b                            Từ đó suy ra   1   1   2   2   3   3   0. a   b   a b   a b   a b                  IV - TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Định nghĩa  Trong không gian   , Oxyz   cho hai vectơ       1   2   3 ;   ;   , a   a   a   a          1   2   3 ;   ;   . b   b   b   b     Tích có hướng của hai vectơ   a     và   b     là một vectơ, kí hiệu là   , a b                   và       2   3   3   1   1   2 2   3   3   2   3   1   1   3   1   2   2   1 2   3   3   1   1   2 ,   ;   ;   ;   ;   .  a   a   a   a   a   a a b   a b   a b   a b   a b   a b   a b b   b   b   b   b   b                                                      

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian – Huỳnh Đức Khánh

Trang 1/42  CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG  A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN  I.   Phương trình đường thẳng:     Cho đường thẳng         (   ) 0   0   0   0 ;   ; M   x   y   z   và nhận vectơ   (   ) 1   2   3 ;   ; a   a   a   a =     với  2   2   2 1   2   3   0 a   a   a +   +      làm vectơ chỉ phương. Khi đó      có phương trình tham số là :  (   )  0   1 0   2 0   2 ;  x   x   a t y   y   a t   t z   z   a t  =   +     =   +        =   +        Cho đường thẳng         (   ) 0   0   0   0 ;   ; M   x   y   z   và nhận vectơ   (   ) 1   2   3 ;   ; a   a   a   a =     sao cho  1   2   3   0 a a a      làm vectơ chỉ phương. Khi đó      có phương trình chính tắc là :  0   0   0 1   2   3  x   x   y   y   z   z a   a   a         =   =  II.   Góc:  1.   Góc giữa hai đường thẳng:  1    có vectơ chỉ phương   1 a    2    có vectơ chỉ phương   2 a     Gọi     là góc giữa hai đường thẳng   1    và   2    . Ta có:   1   2 1   2 .  cos   .  a a a   a  =            2.   Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:     có vectơ chỉ phương   a      (   )    có vectơ chỉ phương   n       Gọi     là góc giữa hai đường thẳng      và (   )     . Ta có:   .  sin   .  a   n a   n    =                 III.   Khoảng cách:  1.   Khoảng cách từ điểm   M              0 M   và có vectơ chỉ phương   a      (   )   0 , ,   a   M M d   M   a               =       2.   Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:  1       M   và có vectơ chỉ phương   1 a    2       N   và có vectơ chỉ phương   2 a     (   )   1   2 1   2 1   2 ,   . ,   =   ,  a   a   MN d   a   a                                  IV.   Các dạng toán thường gặp:  1.   Viết phương trình đường thẳng         , A B   .  Cách giải:   Xác định vectơ chỉ phương của      là   AB     .  2.            M   và song song với   d   .  Cách giải:  Trong trường hợp đặc biệt:Trang 2/42     Nếu      song song hoặc trùng bới trục   Ox   thì      có vectơ chỉ phương là  (   ) 1;0;0 a   i    =   =           Nếu      song song hoặc trùng bới trục   Oy   thì      có vectơ chỉ phương là  (   ) 0;1;0 a   j    =   =           Nếu      song song hoặc trùng bới trục   Oz   thì      có vectơ chỉ phương là  (   ) 0;1;0 a   k    =   =        Các trường hợp khác thì      có vectơ chỉ phương là   d a   a    =          d a      là vectơ chỉ phương của   d  3.   Viết phương trình đường thẳng         M và vuông góc với mặt phẳng   (   )    .  Cách giải:   Xác định vectơ chỉ phương của      là   a   n      =          , với   n        là vectơ pháp tuyến của  (   )    .  4.   Viết phương trình đường thẳng         M và vuông góc với hai đường thẳng  1   2 , d   d   (hai đường thẳng không cùng phương).  Cách giải:   Xác định vectơ chỉ phương của      là   1   2 , a   a   a        =              , với   1   2 , a   a      lần lượt là vectơ chỉ phương của   1   2 , d   d   .  5.   Viết phương trình đường thẳng         M vuông góc với đường thẳng   d   và song song với mặt phẳng   (   )    .  Cách giải:   Xác định vectơ chỉ phương của      là   , d a   a   n          =               , với   d a      là vectơ chỉ phương của   d ,   n        là vectơ pháp tuyến của   (   )    .  6.   Viết phương trình đường thẳng         A   và song song với hai mặt phẳng  (   ) (   ) ,        ;   (   (   ) (   ) ,        là hai mặt phẳng cắt nhau)  Cách giải:   Xác định vectơ chỉ phương của      là   , a   n   n             =               , với   , n   n            lần lượt là vectơ pháp tuyến của   (   ) (   ) ,        .  7.   Viết phương trình đường thẳng      là giao tuyến của hai mặt phẳng   (   )    và   (   )    .  Cách giải:     Lấy một điểm bất kì trên        Xác định vectơ chỉ phương của      là   , a   n   n             =               , với   , n   n            lần lượt là vectơ pháp tuyến của   (   ) (   ) ,        .  8.   Viết phương trình đường thẳng         A   và cắt hai đường thẳng  (   ) 1   2   1   2 ,   , d   d   A   d   A   d       .  Cách giải:   Xác định vectơ chỉ phương của      là   1   2 , a   n   n        =              , với   1   2 , n   n      lần lượt là vectơ pháp tuyến của   (   )   (   ) 1   2 ,   ,   , mp   A d   mp   A d   .  9.   Viết phương trình đường thẳng      nằm trong mặt phẳng   (   )     và cắt hai đường thẳng  1   2 , d   d   .  Cách giải:   Xác định vectơ chỉ phương của      là   a   AB    =          , với   (   )   (   ) 1   2 , A   d   B   d    =      =     10.   Viết phương trình đường thẳng         A , vuông góc và cắt   d   .  Cách giải:     Xác định   B   d = ∆ ∩   .     Viết phương trình đường thẳng         , A B   .  11.   Viết phương trình đường thẳng         A , vuông góc với   1 d   và cắt   2 d , với  2 A   d    .  Cách giải:

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng

Trang 1/40  CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG  A.   TỔNG HỢP LÝ THUYẾT  I.   Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng     Vectơ   0 n           là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của   n     vuông góc với mặt phẳng   (   )       Chú ý:     Nếu   n     là một VTPT của mặt phẳng   (   )     thì   k n     (   0) k      cũng là một VTPT của mặt phẳng   (   )     .     Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.     N    , u v     có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng   (   )     thì   [ , ] n   u v =        là một VTPT của (   )     .  II.   Phương trình tổng quát của mặt phẳng     Trong không gian   Oxyz , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:  0 Ax   By   Cz   D +   +   +   =   với   2   2   2   0 A   B   C +   +        Nếu mặt phẳng   (   )     có phương trình   0 Ax   By   Cz   D +   +   +   =   thì nó có một VTPT là (   ;   ;   ) n A B C     .     Phương trình mặt phẳng đi qua điểm   0   0   0   0 (   ;   ;   ) M   x   y   z   và nhận vectơ   (   ;   ;   ) n A B C     khác   0     là VTPT là:   0   0   0 (   )   (   )   (   )   0 A x   x   B y   y   C z   z    +      +      =   .     Các trường hợp riêng  Xét phương trình mặt phẳng   (   )     :   0 Ax   By   Cz   D +   +   +   =   với   2   2   2   0 A   B   C +   +        Nếu   0 D   =   thì mặt phẳng   (   )        O   .     Nếu   0,   0,   0 A   B   C =         thì mặt phẳng   (   )     song song hoặc chứa trục   Ox   .     Nếu   0,   0,   0 A   B   C    =      thì mặt phẳng   (   )     song song hoặc chứa trục   Oy   .     Nếu   0,   0,   0 A   B   C       =   thì mặt phẳng   (   )     song song hoặc chứa trục   Oz   .     Nếu   0,   0 A   B   C =   =      thì mặt phẳng   (   )     song song hoặc trùng với   (   ) Oxy   .     Nếu   0,   0 A   C   B =   =      thì mặt phẳng   (   )     song song hoặc trùng với   (   ) Oxz   .     Nếu   0,   0 B   C   A =   =      thì mặt phẳng   (   )     song song hoặc trùng với   (   ) Oyz   .Trang 2/40  Chú ý :     N    (   )     không chứa ẩn nào thì   (   )     song song hoặc chứa trục tương      Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn   (   )   :   1  x   y   z a   b   c  +   +   =    . Ở đây   (   )     c   t    (   ) ;0;0 a   ,   (   ) 0; ;0 b   ,   (   ) 0;0; c   với   0 abc      .  III.  Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.     Trong không gian   Oxyz   , cho điểm   0   0   0   0 (x ;   ;   ) M   y   z   và mặt phẳng   (   )   :   0 Ax   By   Cz   D    +   +   +   = Khi đó khoảng cách từ điểm   0 M      (   )       0   0   0 0   2   2   2 |   |  (   , (   ))   Ax   By   Cz   D d M   A   B   C                    IV.   Góc giữa hai mặt phẳng  Trong   không   gian   Oxyz   ,   cho   hai   mặt   phẳng   (   )   1   1   1   1 :   0 A x   B y   C z   D    +   +   +   =   và  (   )   2   2   2   2 :   0. A x   B y   C z   D    +   +   +   = Góc giữa   (   )    và   (   )    bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT   , n   n           . Tức là:  (   ) (   ) (   )   (   )   1   2   1   2   1   2  2   2   2   2   2   2  1   1   1   2   2   2  .  cos   ,   cos   ,   .   .  n   n   A A   B B   C C n   n   n   n   A   B   C   A   B   C              +   +       =   =   =   +   +   +   +                 V.   Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng  Dạng 1 : Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.  Phương pháp giải    Dạng 2 : Viết phương trình mặt phẳng   (   )       (   ) 0   0   0   0 ;   ; M   x   y   z   và song song với 1 mặt phẳng   (   )   :   0 Ax   By   Cz   D +   +   +   =    cho trước.  Phương pháp giải  C  1. VTPT của   (   )    là   (   ) ;   ;   . n   A B C =      2.   (   )    //   (   )    nên VTPT của mặt phẳng   (   )    là   (   ) ;   ;   . n   n   A B C =   =             3. Phương trình mặt phẳng   (   )    :   (   )   (   )   (   ) 0   0   0   0. A x   x   B   y   y   C   z   z    +      +      = Cách 2: 1. Mặt phẳng   (   )    //   (   )    nên phương trình   (   ) P   có dạng:   0 Ax   By   Cz   D  +   +   +   =   (*), với   D   D    .  2. Vì   (   ) P   qua 1 điểm   (   ) 0   0   0   0 ;   ; M   x   y   z   nên thay tọa độ   (   ) 0   0   0   0 ;   ; M   x   y   z   vào (*) tìm được   D    .  Dạng 3 : Viết phương trình mặt phẳng   (   )       A   ,   B   ,   C   không thẳng hàng.  Phương pháp giải  1. Tìm tọa độ các vectơ:   ,   . AB AC   

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình mặt phẳng

Trung Tâm Luyện Th i Đại Học Amsterdam  Chương III - Bài 4.   Phương Trình Mặt Cầu  281  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  A .   L Ý   THUY    T  I.     1. Định nghĩa:   Trong không gian t  a đ  Oxyz   , cho m  t c  u     ; S I R   có  tâm     ; ; I a b c   và bán kính R   .       ;   ; M   x y z   thuộc mặt cầu   khi và chỉ khi 2   2  IM   R   IM   R          .  Khi đó phương trình mặt cầu có dạng:                  2   2   2   2  x   a   y   b   z   c   R                  1  .  Ngoài ra để lập phương trình mặt cầu ta có thể tìm các hệ   số , , a b , c d  trong phương trình: 2   2   2   2   2   2   0 x   y   z   ax   by   cz   d                        2   .  Với tâm     ; ; I a b c   , bán kính 2   2   2   2   0 R   a   b   c   d                .  Nhận xét:   Phương trình     2   có các trường hợp sau.  Khi 2   2   2   2   0 R   a   b   c   d                thì     2   là phương trình m  t c  u.  Khi 2   2   2   2   0 R   a   b   c   d                thì 0 IM      và phương trình     2   xác đ  nh đi  m I   duy nh  t.  Khi 2   2   2   2   0 R   a   b   c   d                thì phương trình     2   không ph  i m  t c  u.   Ví d    1 .   Cho phương trình 2   2   2   2   6   8   1   0. x   y   z   x   y   z                      H  i phương trình này có ph  i là  m  t c  u ? N  u là phương trình m  t c  u, hãy tìm tâm và bán   kính c  a nó ?  Lời giải  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................   Ví d    2 .   L  p phương trình m  t c  u     S   bi  t m  t c  u     S   có tâm     1;2;3 I   bán   kính 5 R      .  Lời giải  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................   Ví d    3.   Trong không gian Oxyz   , cho hai đi  m (2;   1; 2) A      , (0;1;0) B   .   Vi  t p hương trình m  t c  u    ng kính AB   .  Lời giải  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ .................. M  R  y  z  x  I (a;b;c)  j  i  k  O  M   À   I   4 .   PH  NG TR  NH M  T C  UTrung Tâm Luyện Th i Đại Học Amsterdam  Chương III - Bài 4.   Phương Trình Mặt Cầu  282  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880   Ví d    4 .   L  p phương trình m  t c  u     S   bi  t m  t c  u     S        2;   4;3 C      và các hình c hi  u  c  a C   lên ba tr  c t  a đ  .  Lời giải  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  I I .   VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU.  1.   V    trí tương đ  i   gi  a m  t đi  m v  i m  t m  t c  u  Cho m  t c  u     S   có tâm I   , bán kính R   và đi  m A   .    m A   thu  c m  t c  u IA   R       .    m A   n  m trong m  t c  u IA   R       .    m A   n  m ngoài m  t c  u IA   R       .  2.   Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:  Cho m  t c  u                  2   2   2   2  (   ) : S   x   a   y   b   z   c   R                   v   t ph  ng       :   0 Ax   By   Cz   D                 .  Tính:       2   2   2  ;   Aa   Bb   Cc   D d   d   I   A   B   C                      d   R   : m  t c  u     S   và m  t ph  ng (   )     không có đi  m chung. d   R   : m  t ph  ng (   )     ti  p xúc m  t c  u     S   t  i H   .       m H     c g  i là ti  p đi  m hay H   là hình chiếu của I   lên mặt phẳng (  ).     M  t ph  ng (   )       c g  i là ti  p di  n. d   R   : m  t ph  ng (   )     c  t m  t c  u     S   theo giao tuy  n là đư  ng tròn. (   )    và mặt cầu     S  không giao nhau (   )    và mặt cầu     S  tiếp xúc nhau tại H (   )    và mặt cầu     S   cắt nhau  theo giao tuyến là đường tròn  tâm H   , bán kính 2   2  r   R   h     d   R  d   R  d   R  R    I  H   R  I  H C (   )   r  R    I  H  M

Bài toán phương trình mặt cầu – Diệp Tuân

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con ĐườngNơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường  MuÂc luÂc  Chương 3.   PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN   1  Bài 1.   TỌA ĐỘ VÉC TƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM   1  A A   LÝ THUYẾT CẦN NHỚ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1  B B   PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3  |   Dạng 1.Tọa độ véc tơ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3  |   Dạng 2.Tọa độ điểm   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   6  |   Dạng 3.Hình chiếu, đối xứng qua các trục, các mặt toạ độ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   11  |   Dạng 4.Tính diện tích và thể tích   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   12  C C   BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   14  Bài 2.   PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU   17  A A   LÝ THUYẾT CẦN NHỚ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17  B B   PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17  |   Dạng 1.Xác định tâm   I , bán kính   r   của mặt cầu cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17  |   Dạng 2.Mặt cầu dạng khai triển   ( S ) :   x 2   + y 2   + z 2    2 ax  2 by  2 cz + d   = 0   (1) .  18  |   Dạng 3.Lập phương trình mặt cầu   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   20  |   Dạng 4.Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24  C C   BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   26  Bài 3.   PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG   29  A A   LÝ THUYẾT CẦN NHỚ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   29  B B   PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31  |   Dạng 1.Xác định véc tơ pháp tuyến và điểm thuộc mặt phẳng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31  |   Dạng 2.Lập phương trình mặt phẳng khi biết các yếu tố liên quan   . . . . . . . . . . . . . .   31  |   Dạng 3.Phương trình theo đoạn chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   35  |   Dạng 4.Khoảng cách và góc   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   36  |   Dạng 5.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   38  |   Dạng 6.Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   39  C C   BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   43

Bài giảng phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Hoàng Việt

1  THÂN TẶNG QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TOÀN QUỐC  HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ  PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  CƠ BẢN LỚP 12 THPT  CREATED BY GIANG S  N; TEL 0333275320  TP.THÁI BÌNH; 20/11/2021  TOÀN T  P  PH  NG PHÁP T  A      TRONG  KHÔNG GIAN C    B  N  PHIÊN B  N 20212  TOÀN TẬP  PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CƠ BẢN  __________________________________________________________________________________________________                                             MẶT PHẲNG OXYZ P1     MẶT PHẲNG OXYZ P2     MẶT PHẲNG OXYZ P3     MẶT PHẲNG OXYZ P4     MẶT PHẲNG OXYZ P5     MẶT PHẲNG OXYZ P6     MẶT PHẲNG OXYZ P7     MẶT PHẲNG OXYZ P8     MẶT CẦU OXYZ P1     MẶT CẦU OXYZ P2     MẶT CẦU OXYZ P3     MẶT CẦU OXYZ P4     MẶT CẦU OXYZ P5     MẶT CẦU OXYZ P6     MẶT CẦU OXYZ P7     MẶT CẦU OXYZ P8                                             LIÊN KẾT MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG OXYZ P1     LIÊN KẾT MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG OXYZ P2     LIÊN KẾT MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG OXYZ P3     LIÊN KẾT MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG OXYZ P4     LIÊN KẾT MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG OXYZ P5     LIÊN KẾT MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG OXYZ P6     LIÊN KẾT MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG OXYZ P7     LIÊN KẾT MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG OXYZ P8     TỔNG HỢP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ P1     TỔNG HỢP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ P2     TỔNG HỢP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ P3     TỔNG HỢP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ P4     TỔNG HỢP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ P5     TỔNG HỢP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ P6     TỔNG HỢP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ P7     TỔNG HỢP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ P8

Toàn tập phương pháp tọa độ trong không gian cơ bản

CH  NG 3: PH  NG PHÁP T  A      TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 1: H    T  A      TRONG KHÔNG GIAN A. LÍ THUY  T TR  NG TÂM 1. H    t  a      trong không gian  H    tr  c t  a       -các vuông góc trong không gian g  m ba tr  c x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc v  i nhau t  ng      t. G  i   ,   , i j k     l  n l  t là các vect     n v    trên các tr  c Ox, Oy, Oz.   i  m O    c g  i là g  c t  a    . Các m  t ph  ng (Oxy), (Oyz), (Ozx) là các m  t ph  ng t  a    . Không gian g  n v  i h    t  a      Oxyz    c g  i là không gian Oxyz.  2. T  a      c  a vect   Trong không gian Oxyz, cho vect    u     . Khi          u   x; y; z   u   xi   y j   zk.                             Chú ý:  1)       0   0;0;0 .     2)  1   1 2   2 3   3  a   b a   b   a   b a   b                        3)   a     cùng ph  ng         1   1 2   2 3   3 a   kb a   k b b   0   b a   kb                           Bi  u th  c t  a      c  a các phép toán vect   Cho hai vect              1   2   3   1   2   3 ;   ;   ,   ;   ; a   a   a   a   b   b b   b            và k là s    th  c tùy ý. Khi             1   1   2   2   3   3 ;   ;   . a   b   a   b   a   b   a   b                           1   1   2   2   3   3 ;   ;   . a   b   a   b   a   b   a   b                           1   2   3 .   ;   ; k a   ka   ka   ka            1   1   2   2   3   3 . .   .   .   . a b   a b   a b   a b            ng d  ng c  a tích vô h  ng:     1   1   2   2   3   3 a .b   a a   b   a.b   0   .b   a .b   0                              2   2   2   2 1   2   3 a   a.a   a   a   a .                  2   2   2   2 1   2   3 a   a   a   a   a .                          1   1   2   2 2   2   2   2   2   2 1   2 3   3 3   1   2   3 a b   a b   a a.b cos a; b   a . b   a   a   .   b   b b a   b                            V  i a   0, b   0.              3. T  a      c  a m  t    i  m  Trong không gian Oxyz, cho    i  m M tùy ý. Khi       M x; y; z   OM (   xi   y j   zk )   .                      Tính ch  t     N  u             A   A   A   B   B   B A x ; y ; y   và B x ; y ; y   thì      B   A   B   A   C   A AB x   x ; y   y ; z   z   .            Khi                        2 B   A   B 2   2 B A   A AB   AB   x   x   y   y   z   z   .                       T  a      trung    i  m I c  a    o  n th  ng AB là A   B   A   B   A   B x   x   y   y   z   z ;   ;   . I   2   2   2                        T  a      tr  ng tâm G c  a tam giác ABC là C   C A   B   A   A   C B   B x   x   y   y   z   z ;   ;   . 3   3 x   y 3 z G                             T  a      tr  ng tâm G c  a t    di  n ABCD là A   B   C   D   A   B   C   D   A   B   C   D x   x   x   x   y   y   y   y   z   z   z   z G   ;   ; 4   4   4                                        4. Tích có h  ng c  a hai vect   nh ngh  a  Trong không gian Oxyz, cho hai vect        1   2   3 b   b ; b ; b   .      Tích có h  ng c  a hai vect    a và b        là m  t vect    vuông góc v  i c    hai vect    a và b        , kí hi  u là   a , b                và    c xác    nh nh    sau: 2   3   3   1   1   2 2   3   3   1   1   2 a   a   a   a   a   a a , b   ;   ; b   b   b   b   b   b                              2   3   3   2   3   1   1   3   1   2   2   1 a   a b ;a b   a b b   a   b ;   b   a   .            Tính ch  t     a     cùng ph  ng v  i   a b   0. b   ,                     a , b             vuông góc v  i c    hai vect    a và b        .  Chú ý:   Trong h    t  a      Oxyz, cho    i  m M ( x; y; z ) ta có các kh  ng    nh sau:         0;   0 . 0; M   O   M            M   Oxy   z   0          , t  c là       M x; y;0 .         M   Oyz   x   0          , t  c là       M 0; y; z .         M   Oxz   y   0          , t  c là       M x;0; z .     M   Ox   y   z   0             , t  c là       M x; 0; 0 .     M   Oy   x   z   0             , t  c là       M 0; y;0 .     M   Oz   x   y   0             , t  c là       M 0; 0; z .

Tọa độ không gian Oxyz